在时间和查询复杂度之间进行权衡

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直接以时间复杂度或电路下限工作很可怕。因此，我们开发了诸如查询复杂度（或决策树复杂度）之类的工具来处理下限。由于每个查询至少需要一个单元步骤，并且查询之间的计算被视为免费，因此时间复杂度至少与查询复杂度一样高。但是，我们能谈谈分离吗？

我对古典或量子文学中的作品感到好奇，但由于我比较熟悉，因此提供了QC的示例。

一些著名的算法，例如Grover的搜索和Shor的周期发现，时间复杂度在查询复杂度的多对数因子之内。对于其他问题，例如“隐藏子组问题”，我们具有多项式查询复杂度，但多项式时间算法未知。

由于时间和查询复杂度之间可能存在差距，因此尚不清楚最佳时间复杂度算法是否必须具有与最佳查询复杂度算法相同的查询复杂度。

在时间和查询复杂度之间是否存在取舍的例子？

是否存在最知名的时间复杂度算法与最知名的查询复杂度算法具有不同查询复杂度的问题？换句话说，我们可以执行更多查询以简化查询之间的操作吗？

还是有一个论据表明总是存在一种渐近最优查询算法的版本，该算法的实现具有渐近最佳时间复杂性？

— Artem Kaznatcheev
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您想要自然问题还是人为问题也可以吗？

— 罗宾·科塔里

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首选自然问题，但人为问题总比没有答案要好。

— Artem Kaznatcheev

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这是创建具有以下属性的人工函数的尝试：

该问题可以通过查询来解决，但是需要时间。 $O(\log n)$ $\exp(n)$
该问题可以用时间解决，但这需要查询 $O(n)$ $O(n)$

令输入大小为。让前位（我们称此字符串为x）将输入编码为EEXP完整的问题。接下来的位（让我们将其称为字符串y）具有以下属性：当且仅当x是EEXP完全问题的否实例时，它们都为零。 $n + \log n$ $\log n$ $n$

换句话说，前位编码一个难题，而后位为您提供了解决问题的线索。但是，要通过查看位字符串找出解决方案，您可以进行查询。 $\log n$ $n$ $n$ $\Omega(n)$

因此，可以通过仅读取前位并花费exp（n）时间或通过读取位并仅使用线性时间来解决此问题。 $\log n$ $n$

量子查询的复杂性使用相同的功能。在必要时插入平方根符号。

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
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Robin示例的一个更极端的版本：

假设输入大小为，前位（称为字符串）对图灵机编码。修复一些函数。如果图灵机以少于步长停止，则使字符串的最后一位为。然后的问题是确定是否以少于步长停止并且的奇偶性是偶数。 $n$ $n-1$ $x$ $T_x$ $f(n)$ $1$ $T_x$ $f(n)$ $T_x$ $f(n)$ $x$

因此，通过进行查询，可以在时间内解决问题，而通过进行查询，可以在时间内解决问题。 $n-1$ $O(f(n))$ $n$ $O(n)$

— 乔·菲茨西蒙斯
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您可能是说，最后一点是即使图灵机及时停止，x的奇偶校验也是如此（否则，该问题只需要一个查询；）。这很好，可以进行修改，以实现我们希望在时间和查询之间进行的任何分隔。考虑任何函数

并且

，然后令

的前

位是车床的描述。让其他

的

g (n) = ω (1)

$g(n) = \omega(1)$

g (n) < n

$g(n) < n$

g (n)

$g(n)$

x

$x$

n - g (n)

$n - g(n)$

x

$x$ 位是这样的，奇偶校验

是当且仅当偶数

在小于暂停

步骤。然后，我们有一个

对

查询，代价是

对

时间。

x

$x$

T_{x}

$T_x$

f (n) > n

$f(n) > n$

g (n)

$g(n)$

n

$n$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

n

$n$

— Artem Kaznatcheev

忽略我先前评论的第一句话。

— Artem Kaznatcheev

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我喜欢Robin Kothari的回答和Joe Fitzsimons的修改。在他们的答案的一个明显扩展中，他们可以在越来越大的查询复杂度和越来越大的时间复杂度之间实现任何分隔率（常数对非常数除外）。但是，没有明显的方法使它们的功能不完全。我想指出一个自然的问题，我们要有一个分隔符，并表明对于总功能而言，较大的分隔符比较困难。

一个自然的问题

本·里卡特（Ben Reichardt）通过电子邮件指出了公式评估问题。用于评估变量的常规一次AND-OR公式的量子查询复杂度为 $n$ 。但是， $\Theta(\sqrt{n})$ $O(\sqrt{n})$ $O(\sqrt{n}\log{n})$

总功能更难分离？

对我来说，似乎很难找到具有可证明分离的总函数。为了说明总函数和部分函数的情况不同，我将针对总函数的查询最佳算法和时间最佳算法的查询复杂度之间的最大分离提供一个论据。

$m$ $\Omega{(\log m)}$ $m$ $n$ $n - m$ $m$ $0$

$(\text{query complexity}\; , \; \text{time complexity})$ $(q_1(n),t_1(n))$ $(q_2(n),t_2(n))$ $q_2(n) \leq f(q_1(n))$ $f(n) = O(2^n)$

[1] HU Simon，“并行RAM计算非退化布尔函数的时间紧Z（loglogn）约束”，在：Symp。关于计算理论的基础，计算机科学讲义，第1卷。158，施普林格，柏林，1983年，第439-444页。

— Artem Kaznatcheev
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