将电路转换为带有门扇出1的（任何深度）电路的最有效方法

编辑（2011年8月22日）：

我正在进一步简化问题，并悬赏该问题。也许这个更简单的问题将得到一个简单的答案。我还将删除所有不再相关的原始问题。（感谢Stasys Jukna和Ryan O'Donnell部分回答了原始问题！）

背景：

给定的AC ⁰电路随深度k和大小S，存在另一个AC ⁰电路计算与深度k和大小相同功能，使得新电路具有扇出= 1对于所有的栅极。换句话说，该电路看起来像一棵树（除了输入端，因为输入端可能扇出至多个门）。一种方法是复制所有扇出> 1的门，直到所有门扇出= 1。 $O(S^k)$

~~但这是将AC ⁰电路转换为具有扇出1的AC ⁰电路的最有效方法吗？我在Ryan O'Donnell的课程笔记的第14课中阅读了以下内容：~~

假设C是计算奇偶校验的大小为S的任何深度k电路。此练习表明C可以转换为水平的k深度电路，其中的电平交替使用AND和OR门，输入线为2n文字，每个门具有扇出1（即，它是一棵树））—大小最多增加到。 $(2kS)^2 \leq O(S^4)$

脚注：实际上，这是一个比较棘手的练习。如果只需要获得大小，容易，如果您将k视为“常数”，则对于我们的目的而言这几乎是相同的。 $O(S^k)$

这是否意味着有办法采用大小为S的任何深度k AC ⁰电路并将其转换为扇出为1，深度k和大小为的AC ⁰电路？如果是这样，这是怎么做的，这是最著名的方法吗？ $(2kS)^2$

原始问题：

给定的AC ⁰电路随深度k和大小S，什么是最好的已知方法（在最小化所得到的电路的电路规模方面）这转换为交流的⁰电路深度k的和栅极扇出1？有没有下限？

更新，更简单的问题：

这个问题是对原始问题的放松，在原始问题中，我不坚持要求所得电路的深度恒定。如上所述，有一种方法将深度为k，尺寸为S 的AC ⁰电路转换为尺寸为的电路，以使新电路的所有门扇出= 1。有更好的构造吗？ $O(S^k)$

给定深度为k且尺寸为S 的AC ⁰电路，最有名的方法（就最小化所得电路的电路尺寸而言）将其转换为门扇出为1的任何深度的电路是什么？

cc.complexity-theory lower-bounds circuit-complexity

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
source

在结合是确定但如果结合将保持任意的电路（不仅是那些计算奇偶校验功能），那么可以模拟每大小的扇入-2电路通过fanin- 2个大小为公式： fanin-2门足以模拟一个无边界fanin的门。然后可以将公式转换为深度（众所周知的结果，错误地归因于Spira）。因此，我们可以得出电路深度最大为。但这真是令人难以置信：电路深度最著名的上限仅为

O (S^{k})

$O(S^k)$

(2 k S)^{2}

$(2kS)^2$

S

$S$

O (S^{5})

$O(S^5)$

S

$S$

O (\log S)

$O(\log S)$

O (\log S)

$O(\log S)$

O (S / \log S)

$O(S/\log S)$ 。

— Stasys

Btw实际上也适用于任意电路，但前提是我们允许fanin -2的门（例如，参见Wegener书中的Thm。4.1）；电路仍然可以记住中间结果。fanin-1的情况非常不同：这里的电路根本没有内存。但是罗宾的问题非常有趣。甚至有趣的是，可以通过尺寸小于深度3公式来模拟尺寸为深度3电路。

O (k S)^{2})

$O(kS)^2)$

S

$S$

S^{2}

$S^2$

— Stasys

我相信斯塔斯上面所说的一切；我在那些笔记上不是很小心（抱歉）。另一方面，我记得在编写它们时，我很沮丧地发现这一事实-许多论文中都提到了这一点，但几乎从来没有引用过-人们可以将任意电路转换为分层电路而不会消耗太多的空间。。我希望看到一个指向该主题最著名结果的指针。

A C^{0}

$AC^0$

— 瑞安·奥唐奈

@Ryan O'Donnell的：实际上，人们可以很容易地使一个电路层叠带的吹胀。我们使用关联性来实现每个“与”门只有“或”门作为输入，反之亦然；深度保持不变。然后按门的深度排列门，并在必要时添加琐碎的fanin-1 OR和AND门以获得分层电路；深度保持不变，大小仅增加k倍。但我知道Robin希望将电路转换为公式（类似于树的电路，除了输入文字可能具有较大的扇出）。

O (k S)

$O(kS)$

— Stasys

@Ryan O'Donnell：感谢您的答复和在线发表您的演讲笔记！特别是，关于布尔函数分析的讲义非常有用。

— 罗宾·科塔里

我将尝试总结我以前的评论。

首先让我们忽略一个事实，即原始电路的深度为（恒定）；只是假设它的大小为。让是最小的数量，使得每个无界扇入电路尺寸可以转化成无界扇入式大小的。我声称到目前为止，我们能做的最好的事情就是达到。说，甚至还不知道是否可以通过小于的公式来模拟任何大小为（fanin-2）电路。 $k$ $S$ $A$ $S$ $F$ $O(S^A)$ $A=O(S/\log^2 S)$ $S=O(n)$ $\exp(n/\log n)$

为了显示该要求，我们将公式转换为大小为的fanin-2公式。众所周知，每个公式的深度可以使其大小为对数，即。[这是Khrapchenko于1968年首次证明的，然后由几位作者将big-O下的常数提高到。]另一方面，对于fanin-2电路，最著名的结果是[Paterson和Valiant， TCS 2（3），397-400]说。因此，进行的模拟比小得多 $F$ $F′$ $M=O(S^{2A})$ $D$ $F′$ $D=O(\log M)=O(A\log S)$ $D\leq 1.73\log_2M$ $Depth=O(Size/\log Size)$ $A$ $S/\log^2 S$ 会改善最广为人知的电路尺寸深度仿真。

然而，这仅仅是一个“谨慎的词” -因为你认为你原来的电路有没有回答你的问题不断深入，这意味着在这种情况下，我们可以只取（或如果我们有一个输出门）。Paterson-Valiant仿真的强大之处在于它适用于深度几乎是整个尺寸的任意，甚至非常不平衡的电路！但在您的有界深度设置中，即使的情况也不清楚：是否可以将每个大小为深度3电路转换为深度小于的深度3公式 $k$ $A=k$ $A=k−1$ $k=3$ $S$ $S^2$ ？我猜答案应该是“否”（对学生来说可能是一个有趣的练习）。深度为3的公式只是CNF的较大OR。问题是找到共享许多子句的CNF的OR，否则它们“大不相同”以强制使用大的depth-3公式。

问题是我们想要获得一个公式（扇出1电路）。如上所述，允许扇出2的门使仿真更简单：Hoover，Klawe和Pippenger [JACM 31（1），1980]表明，任何大小为，深度为扇入2电路都具有等效的扇入2和扇出大小为且深度为 -2电路。因此，如果fanin是无界的，那么生成的电路将具有大小和深度。 $S$ $D$ $3S−2n$ $2D$ $O(S^2)$ $O(D\log S)$

还有另一种结果与您的问题有关。Lozhkin（1981）证明，如果可以通过深度和大小的公式计算布尔函数，则可以通过深度 -2公式计算（根据我书中的定理6.2）。请注意，平凡的上限仅是（如果我们将通过深度的树来模拟每个单个门）。 $f$ $AC^0$ $k$ $S$ $f$ $D\leq k-1+\lceil\log_2S\rceil$ $D\leq k\log S$ $\log S$

— Stasys
source