独特的st-Connectivity的复杂性

我想知道是否可以在N L（不确定的日志空间）中确定以下问题：$\mathsf{NL}$

给定一个有向图G ^具有两个可分辨顶点小号和吨，有一个独特的来自路径小号到吨在ģ？$G$$s$$t$$s$$t$$G$

我认为这很可能在N L中，因为我们既可以确定是否存在s - t路径，又可以确定是否存在这样的路径。但是，计算这样的路径数是♯P - hard（Valiant，1979）。$\mathsf{NL}$$s$$t$$\mathsf{\sharp P}$

所以我的问题是：您对此有参考吗？很明显它在N L中吗？还是它不在N L中？$\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$

看来您的问题出在N L上。这是一个算法。$NL$

首先，不确定地猜测从s到t的路径。如果您猜错了，请拒绝。调用此算法一。$s$$t$$A$

考虑以下不确定性算法B，它确定是否存在至少两条路径。给定图和小号，吨，对于所有的对不同边缘ë ，˚F，猜从路径小号到吨包括Ë但不˚F，然后猜从路径小号到吨包括˚F但不ë。如果猜测正确，则接受。如果对e和f的所有选择都没有接受，则拒绝。注$B$$s,t$$e,f$$s$$t$$e$$f$$s$$t$$f$$e$$e$$f$$B$ 可在不确定的日志空间中实现。

现在，集合L （B ）是s - t图的集合，具有从s到t的至少两条路径。因为N L = c o N L，所以B的补码也在N L中，即，我们可以确定s和t在不确定的对数空间中是否具有少于两条路径。$L(B)$$s$$t$$s$$t$$NL = coNL$$B$$NL$$s$$t$

最终的算法是：“运行A。如果A接受，则运行B的补码并输出其答案。”$A$$A$$B$

我不知道参考。

更新：如果您真的想要参考，请查阅本文第3节的第一段。但这可能只是引用此结果的众多参考文献之一。将结果称为“民俗”会比引用恰好提到它的论文更为合理。

更新2：假设您要确定是否存在唯一的简单路径。在那种情况下，算法A不必更改：如果根本没有路径，那么就有一条简单路径。我相信下面的修改将用于算法工作乙。$A$$B$

我们要重写算法B，以便它接受至少存在两个简单路径的条件。$B$

首先考虑以下多项式时间算法。找到最短路径P从小号到牛逼。对于每一个边缘ê在P，检查是否有另一个小号 - 牛逼，不通过走路径ê。如果找到这样的路径，请接受。如果您找不到其他路径，请拒绝。因为P是最短的，所以它没有周期，并且如果存在另一条不使用P的边的路径，那么存在另一条简单且不使用P的边的路径$P$$s$$t$$e$$P$$s$$t$$e$$P$$P$$P$。（此算法用于“第二最短路径”问题。）

我们将在N L中实现此算法。如果我们有一个ň 大号算法用于查询边缘Ë在一个固定的路径P，我们可以实现上述的不确定性LOGSPACE：通过所有的边迭代ê在P，猜一个小号 - 牛逼的路径，并检查沿着参观每一个角落方式，它们都不等于e。$NL$$NL$$e$$P$$e$$P$$s$$t$$e$

因此，我们需要一种“路径预言”，这是一种具有以下特性的N L算法：给定i = 1 ，… ，n，在每个计算路径中，该算法要么报告特定固定s - t路径上的第i条边，要么拒绝。我们可以通过使用N L = c o N L来从字典上隔离第一个路径来获得路径预言。$NL$$i=1,\ldots,n$$i$$s$$t$$NL=coNL$

这是路径oracle的草图。

通过尝试所有k = 1 ，… ，n并使用N L = c o N L来找到k，这是从s到t的最短路径的长度。$k$$s$$t$$k=1,\ldots,n$$NL=coNL$

设置变量u ：= s，x ：= 1，j ：= k。$u:=s$$x:=1$$j:=k$

对于按字母顺序排列的u的所有邻居$v$$u$

确定从v到t的长度为j − 1的路径（使用结果N L = c o N L）。更准确地说，同时运行用于s - t连接（长度为j − 1）的不确定性算法及其互补算法。当其中一个接受时，给出答案（必须正确；两个都不能接受）。如果两者都拒绝，则拒绝。$v$$t$$j-1$$NL=coNL$$s$$t$$j-1$

如果没有路径，请继续下一个邻居。如果您用尽了所有邻居，那就拒绝。

如果存在路径，则如果x = i，则输出（u ，v ）作为从s到t的路径上的第i个边。否则递增x，递减j，设置u ：= v，如果v ≠ t则再次启动for循环。$x=i$$(u,v)$$i$$s$$t$$x$$j$$u := v$$v \neq t$

如果x < i在达到t后输出不好的i（给定的i太大）。$x < i$$t$$i$$i$

给定i，此算法要么在字典上从s到t的最短路径P上输出第i个边，要么拒绝。$i$$i$$P$$s$$t$