图属性的敏感性

在[1]，图兰表明灵敏度（称为在论文“临界复杂度”）的曲线图属性的是严格大于$\lfloor {1\over 4} m \rfloor$其中是图中的顶点的数量。他继续推测，任何非平凡的图属性都具有灵敏度。他提到这已经针对进行了验证。这个猜想有没有进展？≥ 米- 1 米≤ $m$$\geq m-1$$m \leq 5$

背景

让$x$是二进制串$\{0,1\}^n$。定义$x^i$为$1 \leq i \leq n$是从所获得的字符串$x$通过翻转$i^{th}$位。对于一个布尔函数$f: \{0,1\}^n$ \到$\{0,1\}$，定义的灵敏度$f$在$x$为。最后，定义灵敏度的 ˚F为小号（˚F ）：= 最大$s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$$f$。$s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$

曲线图属性是一个集合的曲线图，使得如果ģ ∈ P和G ^ '是同构ģ然后ģ ' ∈ P。我们可以将图属性P视为属性P m的并集，其中P m是包含m个顶点的图组成的P的子集。此外，我们可以设想的图表属性P米为布尔函数上{ 0 ，1 } Ñ其中Ñ $\mathcal P$$G \in \mathcal P$$G'$$G$$G' \in \mathcal P$$\mathcal P$$\mathcal P_m$$\mathcal P_m$$\mathcal P$$m$$\mathcal P_m$$\{0,1\}^n$。我们可以在长度为n的二进制矢量中的m个顶点上编码图；向量中的每个条目对应于一对顶点，并且如果图中存在边，则条目为1。因此，曲线图属性的灵敏度是其灵敏度QUA布尔函数。$n = {m \choose 2}$$m$$n$$1$

1. Turan，G。，图属性的关键复杂性，Information Processing Letters 18（1984），151-153。

Suresh指出的调查提出了Wegener [1]的论文，部分证实了这一推测。它适用于所有单调图属性，并且不等式紧密（考虑属性“没有孤立的顶点”）。任何最近的结果也将不胜感激。

1. Wegener，L。所有（单调）布尔函数和单调图属性的临界复杂度。Information and Control，67：212-222，1985。