是否以最优方式求解n×n×n魔方NP-hard？

考虑Rubik's Cube的明显的推广。是NP难于计算最短的移动序列来解决给定的加扰多维数据集，还是有多项式时间算法？$n\times n\times n$

[一些相关结果在我最近的博客文章中进行了介绍。]

我的一篇论文刚刚发布到arXiv并解决了这个问题：最优解决Rubik's Cube是NP完全的。

Demaine，Demaine，Eisenstat，Lubiw和Winslow的一篇新论文对该问题进行了部分进展-它给出了多项式时间算法，用于最优地求解立方体，并显示N P -硬度，用于最佳解决您可能称为“部分着色”的多维数据集。它还显示n × n × n立方体的配置空间的直径为Θ （n 2 / log n ）。$n \times O(1) \times O(1)$$\mathsf{NP}$$n \times n \times n$$\Theta(n^2/\log n)$

甜！

他们的工作似乎暗示着一个可能的下一个问题：是否存在一个固定的，部分着色的立方体族，每个n值对应一个立方体，这样从给定配置中进行最佳求解是N P- Hard吗？$n \times n \times n$$n$$\mathsf{NP}$

这很容易出现错误，因此，如果发现一个错误，请告诉我。

似乎答案是否定的，或者至少这个问题包含在NP中。这背后的原因很简单。这个想法是从另一个问题开始的：“您能以S步或更短的时间在配置A和配置B之间实现吗？”

显然，这个新问题在NP中，因为有一种算法可以从任何可解决的配置中解出多维数据集，因此通过已解决状态，只需O （n 2）就可以在任何两种配置之间进行求算。由于仅存在多项式的移动，因此可以将在两个配置之间进行的一组移动用作该新问题的见证。$O(n^2)$$O(n^2)$

现在，首先，如果我们将配置B选为已解决状态，则会遇到一个问题，即是否可以以步或更短的步数求解包含在NP中的立方体。$S$

现在让我们挑选对于B，我将称之为一个不同的配置这需要Ñ ħ 一个[R d ≈ Ñ 2周的措施来解决。现在，如果我们问是否有可能以S '步或更短的步长在配置A和B h a r d之间进行转换，那么在NP中我们又遇到了一个问题，即一系列移动作为见证。但是，由于我们知道B h a r d需要n h a r $B_{hard}$$n_{hard} \approx n^2$$B_{hard}$$S'$$B_{hard}$$n_{hard}$要解决的步骤，我们知道，如果有可能在S '步中在A和之间移动，则至少需要n h a r d - S '步才能从中求解n × n × n立方。配置A$B_{hard}$$S'$$n_{hard} - S'$$n \times n \times n$

$n_{hard} - S'$$S$$S_0$$S' = n_{hard} - S_0$$S = S_0$），那么我们有一个见证人，这个解决方案是最优的（由与范围有关的两个NP问题的见证人组成）。

$B_{hard}$$O(n^2)$

$n_{hard}$$n_{hard} = \mbox{God's number}(n)$

$B_{hard}$$n_{hard} = \mbox{God's number}(n)$