广义拉德纳定理

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拉德纳定理指出，如果P≠NP，则存在一个严格包含P且严格包含在NP中的无限复杂性等级体系。该证明使用了NP减少多一的SAT的完整性。层次结构包含通过一种对角线化构造的复杂度类，每个复杂度类都包含某种语言，较低类中的语言不可以多对一地归纳。

这激发了我的问题：

令C为复杂度类别，令D为严格包含C的复杂度类别。如果D包含完成某种归约概念的语言，相对于C，D和C之间是否存在无限级的复杂度等级层次减少？

更具体地说，我想知道是否存在D = P和C = LOGCFL或C = NC的结果，以适合适当的减少量概念。

正如Kaveh在回答中指出的那样，Ladner的论文已经包含了定界C类的定理7。最强烈的说法是：如果NL≠NP，则NL和NP之间的语言顺序是无限的，并且严格增加了硬度。这比通常的版本（定理1）更一般，后者以P≠NP为条件。但是，Ladner的论文仅考虑D = NP。

cc.complexity-theory reference-request np-intermediate

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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1

可能首先要问一个问题，重点是我们已经知道的不同类。例如，关于投影，在AC和AC [6] 之间是否存在无限层次？看来这是一个棘手的问题！:-)

^{0}

$^0$

^{0}

$^0$

— 迈克尔Cadilhac

有关从P到NP的间隔的问题，另请参阅cstheory.stackexchange.com/questions/52/…。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

33

您的问题的答案是“是”，适用于各种类和归约，包括日志空间归约和您提到的类，如以下文件所示：

H·沃尔默重新探讨了间隙语言技术。计算机科学逻辑，计算机科学卷中的讲义 533，第389-399页，1990年。

K. Regan和H. Vollmer。间隙语言和日志时间复杂度类。理论计算机科学，188（1-2）：101-116，1997。

（您可以在此处下载这些论文的压缩后记文件）。

证明遵循UweSchöning扩展Ladner定理的基本原理：

UweSchöning。一种求复杂性类对角线集的统一方法。理论计算机科学18（1）：95-103，1982。

Schöning的证明一直是我最喜欢Ladner定理的证明-它既简单又通用。

— 约翰·沃特罗斯
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那诺言类呢？

— Marcos Villagra'9

12

您很有可能可以在常规设置中完成此操作。几乎可以肯定的是，这种结果已经在通用环境中得到了证明，但是目前这些参考文献对我没有涉及。所以这是一个从头开始的论点。

在该书面记录http://oldblog.computationalcomplexity.org/media/ladner.pdf有拉德纳定理的两个证明。由Russell Impagliazzo提出的第二种证明产生了一种形式为{ } 的语言，其中编码了一个可满足的公式，而是一个特定的多项式时间可计算函数。也就是说，只需将SAT填充适当的即可获得“ NP中间”集。进行填充是为了对所有可能的多项式时间减少量进行“对角化”，因此从SAT到多项式时间减少量都不会起作用（假设 $L_1$ $x01^{f(|x|)}$ $x$ $f$ $1$ $L_1$ $P \neq NP$ ）。为了证明存在无限多个硬度，应该可以用代替SAT，然后重复 {的论点。 }中。重复 { }。 $L_1$ $L_2 =$ $x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_1$ $L_i =$ $x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_{i-1}$

显然，这样的证明可以推广到和类，其中（1）正确包含在；（2）在归约下具有完整的语言；（3）所有归约的列表可以递归枚举，并且（4）函数在是可计算的。也许唯一令人担忧的要求是最后一个要求，但是如果您查看链接中的定义，对于我能想到的大多数合理的类来说，它看起来很容易计算。 $C$ $D$ $C$ $D$ $D$ $C$ $C$ $f$ $C$ $f$ $C$

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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8

我认为对于和的统一版本，答案是肯定的。Ladner的证明除了您所说的以外，并没有使用太多的东西，而是较小的类是递归表示的，并且应该进行较小的修改，但是我没有检查细节，请在此处查看Lance的文章。 $C=L$ $NC$

更新资料

查阅Ladner 关于多项式时间可约性结构的论文

这是摘要：多项式时间可约性的两个概念分别由Cook和Karp定义，在这里用和。研究了这两个关系在可计算集域上的抽象性质。两种关系都证明是密集的，并且具有最小的对。此外，存在一个严格上升的序列，该序列具有最小的一对上限。我们显示密度的方法得出的结果是，如果则存在成员不是多项式完全的。 $\leq_T^P$ $\leq_m^P$ $P \neq NP$ $NP - P$

定理1，如果B是可计算的，而不是在则存在一个可计算的，使得，，和。 $P$ $A$ $A \not \in P$ $A \leq_m^P B$ $B \not \leq_T^P A$

另请参阅第6节，其中讨论了概括：

定理5。如果是时间类，则和是自反和传递关系，定理1-4成立，被代替。 $C$ $\leq_m^C$ $\leq_T^C$ $P$ $C$

定理7.如果是空间类，然后和是自反传递关系和定理1-4保持与替换。 $C$ $\leq_m^C$ $\leq_T^C$ $P$ $C$

该条款的时间类和空间类是在论文中定义。

— 卡韦
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以我理解Ladner和Impagliazzo证明的方式，他们似乎使用了一些特定于NP，SAT和多项式时间约简的成分。我的问题是准确地确定这些成分是否可以更广泛地使用。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

@AndrásSalamon：不，实际上，Ladner的原始证明没有使用任何关于SAT的事实，只是它是可计算的（请参见上述定理1）。在第6节中，他讨论了减少归因于其定理所需的性质。我认为是一个太空舱。

L

$L$

— 卡夫

我认为该定理也可以推广到统一的电路类，因此定理1也适用于（没有检查细节，我会在做或找到参考文献时将其添加到帖子中），但我不会认为可以将其推广到非均匀版本，因为证明使用了递归表示复杂性类的事实。知道定理1是否也适用于（统一版本）会很有趣，这将回答MichaëlCadilhac在该职位下的评论。

C = N C

$C=NC$

C = A C^{0}

$C=AC^0$

— 卡夫

5

我在这里问了与Mathoverflow的Peter Shor类似的问题。据他说，他不知道这样的结果。

另外，瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）对拉德纳定理说了些有趣的事，但我找不到链接。它的过程是这样的：“ Ladner定理的证明是一个类似于僵尸的过程，您需要将NP完全问题的头部和躯干，然后缝合多项式时间算法的胳膊和腿”。假设，定义NP中间语言是一种相当不自然的方法。 $NP\neq P$

我也考虑过这一点，也许您可以使用Ryan的类似于僵尸的过程：让是的完整集合，让。然后，您可以通过吹孔或填充使用两种方法对进行证明。 $A$ $\sum_i^p$ $B \in \sum_{i-1}^p$ $B$

另一个有趣的问题是考虑将Ladner的泛化成语义类的promise版本，例如promiseBPP，promiseMA等。

— 马科斯·维拉格拉
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我忘了提一下，这当然仅与PH有关，并且似乎比仅采用任何复杂性类都更合理。

— Marcos Villagra

5

链接：mathoverflow.net/questions/9221/…–

— 瑞安·威廉姆斯

3

我认为这里的关键是Ladner论文中的定理1需要递归表示，因为它是对角线证明。该和是语义类和AFAIK我们不知道他们是递归表示。另一方面，统一是一个语法类，并被递归表示。

C

$C$

B P P

$BPP$

M A

$MA$

N C

$NC$

— 卡夫

是的，从语义类中枚举机器不是递归的。但是语义类的promise版本（promiseBPP，promiseMA等）确实是内在的。

— Marcos Villagra'9