最小不满足3-CNF公式

我目前对获取（或构造）和研究3-CNF公式感到兴趣，这些公式无法满足且尺寸最小。也就是说，它们必须包含尽可能少的子句（最好是m = 8）和尽可能少的不同变量（n = 4或更多），以使删除至少一个子句将使公式可满足要求。

更正式地说，任何合格的3-CNF公式F必须满足以下条件：

F不满足
F具有最小数量（4+）的不同变量（或它们的取反）
F的子句数量最少（8+）
F的每个适当子集都是可以满足的（允许删除任何一个或多个任意子句）。
F没有2个子句可简化为2-CNF子句，例如(i, j, k) & (i, j, ~k)，不允许使用（将它们简化为(i,j)）

例如，在n = 4的情况下，存在许多无法满足的最小8子句3-CNF公式。首先，通过查看4超立方体并尝试用边缘（2面）覆盖它，可以构造以下无法满足的公式：

1. (~A,  B,  D)
2. (~B,  C,  D)
3. ( A, ~C   D)
4. ( A, ~B, ~D)
5. ( B, ~C, ~D)
6. (~A,  C, ~D)
7. ( A,  B,  C)
8. (~A, ~B, ~C)

这有资格成为最小的不满足3-CNF公式，因为：

这是无法满足的：
- 第1-3条等同于： D or A=B=C
- 第4-6条等同于： ~D or A=B=C
- 他们暗示A=B=C，但根据第7和第8条，这是矛盾的。
只有4个不同的变量。
只有8个子句。
删除任何子句都会使其令人满意。
没有2个子句可以“简化”为2-CNF子句。

因此，我想我的总体问题按对我的重要性排序：

满足上述条件的其他一些最小最小公式是什么？（例如，有4,5,6变量和8,9,10子句）
是否有某种数据库或此类最小公式的“图集”？
有哪些非随机算法可以直接构建它们？
对这些配方的特征有哪些见解？给定n（＃个变量）和m（＃个子句），是否可以对它们进行计数或估计？

预先感谢您的答复。我欢迎任何回答或评论。

cc.complexity-theory sat

— 货币基金组织
source

每个3-CNF子句均禁止使用可能解决方案的1/8。因此，很明显，您始终至少需要8个子句，如果不允许的解决方案集重叠，则需要更多子句。由于您的条件5禁止n = 3的非重叠不允许解决方案集，因此在这种情况下，您需要使用8个以上子句：请注意，您的示例不遵守条件5。

— AndrásSalamon

是的，您对安德拉斯的所有观点都是正确的。对于不满足要求的3-CNF公式，必须至少包含8个子句，因此，对于我来说，条件5对于查找/构造合格的公式可能过于严格。我意识到，对于n = 3，必须违反条件5，但仅出于说明目的将其包括在内。我对大小为n = 4 +（即4个或更多变量，但不太多）的限定公式严格感兴趣。也许我会刮擦条件

— MAF

我认为您的n = 3的“示例”令人困惑，而不是说明性的，因为（正如András在其评论中指出的那样），它实际上并不是您在此问题中所提出的示例。n = 4的示例非常好并且具有说明性。您为什么不删除n = 3的示例？

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

好点，刚做完了

— MAF

{x}

$\{x\}$

{x^{'}}

$\{x'\}$

C

$C$

C \cup {v}

$C \cup \{v\}$

C \cup {v^{'}}

$C \cup \{v'\}$

v

$v$

Answers:

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C$ $2$

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot E$
$\lnot B \lor \lnot C \lor E$

$n=5$ $m=9$

$l_1 \lor l_2 \lor l_3$ $2$

$l_1 \lor l_2 \lor v$
$l_2 \lor l_3 \lor \lnot v$

$v$ $n$ $m$ $1$ $r=\frac{m}{n}$ $1$ $n$ $r=1$

— 乔治·卡梅尼（Giorgio Camerani）
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谢谢沃尔特的答复。您描述的过程确实对生成更大的“相似”结构的最小unsat公式非常有帮助，也就是说，一旦您拥有一个核心集，您就会发现它具有有趣的属性。

— MAF

@MAF：非常欢迎。感谢您发布如此有趣的问题。

— Giorgio Camerani

我相信条件5在您的示例中并不是真正成立的，也永远不会成立。
让以下子句等效：

( p, q) = (~A,B,D)(A,~B,~D)

这将使我们能够将A，B，C和D的子句映射到新的变量p，q，r和s，如下所示的真值表：

A B C D | p q r s
-----------------
0 0 0 0 | 0 1 0 0
0 0 0 1 | 0 1 0 1
0 0 1 0 | 0 1 1 0
0 0 1 1 | 0 1 1 1
-----------------
0 1 0 0 | 1 0 0 0
0 1 0 1 | 0 0 0 0
0 1 1 0 | 1 0 0 1
0 1 1 1 | 0 0 0 1
-----------------
1 0 0 0 | 0 0 1 0
1 0 0 1 | 1 0 1 0
1 0 1 0 | 0 0 1 1
1 0 1 1 | 1 0 1 1
-----------------
1 1 0 0 | 1 1 0 0
1 1 0 1 | 1 1 0 1
1 1 1 0 | 1 1 1 0
1 1 1 1 | 1 1 1 1
-----------------

现在我们可以用p，q，r和s表示A，B，C和D的子句：

1. (~A,  B,  D) = ( p, q,~r, s)( p, q,~r,~s)
2. (~B,  C,  D) = (~p, q, r, s)(~p,~q, r, s)
3. ( A, ~C   D) = ( p,~q,~r, s)(~p, q, r,~s)
4. ( A, ~B, ~D) = ( p, q, r, s)( p, q, r,~s)
5. ( B, ~C, ~D) = ( p,~q,~r,~s)(~p, q,~r,~s)
6. (~A,  C, ~D) = (~p, q,~r, s)(~p,~q, r,~s)
7. ( A,  B,  C) = ( p,~q, r, s)( p,~q, r,~s)
8. (~A, ~B, ~C) = (~p,~q,~r, s)(~p,~q,~r,~s)

由于所有子句均已显示并与A，B，C和D子句相关联。然后我们可以声称p，q，r和s子句可以简化为：

( p, q, r)
( p, q,~r)
( p,~q, r)
( p,~q,~r)
(~p, q, r)
(~p, q,~r)
(~p,~q, r)
(~p,~q,~r)

这显然违反了条件编号5。

我要指出的是，即使该示例也没有明确显示可以将2个子句简化为2-CNF，但是隐含的是has（例如（〜（A，B， D）和（A，〜B，〜D）），您可能无法使用给定的变量来表示2-CNF，但是当您针对问题引入不同的映射时，您将能够表达它们。

— 卡扎姆·阿罕丹（Khazam Alhamdan）
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