某些类型查询的最佳预处理

假设我们有一个半群，其元素。我们的目标是计算产品的。 $(S,\circ)$ $S=\lbrace s_1,s_2,\dots,s_n\rbrace$ $s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$

Alon和Schieber在他们的论文“用于回答在线产品查询的最佳预处理”中证明，仅使用线性量，我们最多可以以步（其中是逆阿克曼函数）回答每个这样的查询。预处理。 $O(\alpha(n))$ $\alpha$

如果期望，每个查询可以在回答的步骤，可以在一个仍然只要这样做线性预处理？ $s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$ $O(\log(j-i))$

（这个问题的灵感来自这个最近布伦丹·麦凯在Mathoverflow问题。）

cc.complexity-theory graph-theory ds.data-structures

— 杰尔吉·扎伊米（Gjergji Zaimi）
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您可以向MO问题添加链接吗？

— Suresh Venkat

有什么理由让它成为半团体而不是团体？

— 哈克·贝内特

@哈克：如果是一个小组，那么上面链接中的Noam构造将给出这样的算法。

— Gjergji Zaimi 2011年

用叶子中的构造一个有序的平衡二叉树。在每个内部节点存储以为根的子树的叶子的乘积。这种预处理显然在O 时间和空间上进行。 $s_1,\dots,s_n$ $v$ $v$ $(n)$

现在，计算产品（其中）在树起来从来的最低共同祖先（LCA）和。收集存储在远离路径的每个正确子项中的产品，不包括LCA的正确子项。换句话说，当您从升至其父，如果是的左孩子，则提取存储在的右孩子中的乘积。同样，从走 $s_i\circ\ldots\circ s_j$ $i<j$ $i$ $i$ $j$ $u$ $v$ $u$ $v$ $v$ $j$ 到LCA，并收集存放在离开该路径的左儿童中的产品。将所有这些乘积以及和依次乘以。 $s_i$ $s_j$

— 有里
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