双产品的证明理论？

一类具有双积时相同的对象都是产品和副产品。有没有人研究过双产品范畴的证明理论？

也许最著名的例子是向量空间的类别，其中直接和和直接乘积构造给出相同的向量空间。这意味着向量空间和线性映射是线性逻辑的稍微退化的模型，我很好奇接受这种退化的类型理论会是什么样子。

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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也许Cockett和Seely？也许是线性双分类简介，或者是math.mcgill.ca/~rags中的其他内容。

— 戴夫·克拉克

也许“双产品”中的“双”是令人误解的：这不是两类事物，而是当普通对象中相同的对象既是产品又是副产品（加上一些一致性条件）时发生的事情。

— Neel Krishnaswami

也许他们的论文是：FINUM SUM – PRODUCT LOGIC。

— 戴夫·克拉克

稍微退化？我认为，识别产品和副产品意味着识别初始对象和最终对象，它们通常是空的和单例的类型，分别被解释为虚假的虚假和真实。在线性逻辑中，我认为这会将逻辑的整个加法半部分折叠为一个自我对偶运算，并且消除了两个乘法。另一方面，乘法片段往往是线性逻辑中更具建设性的部分，所以也许这确实引出了一些有趣的地方……

— CA McCann

@camccann：逻辑之外还有数学。在交换代数中，初始对象和最终对象以及副产品和乘积通常是一致的。例如，平凡的阿贝尔群是初始词和终止词。既是初始对象又是终止对象的对象称为零对象。看一看阿贝尔类别，可以直观地了解所有工作原理。

— 安德烈·鲍尔

Answers:

我和萨姆森·阿布拉姆斯基（Samson Abramsky）撰写了一篇关于带有双产品的紧范畴的证明理论的论文。

Abramsky，S.和Duncan，R.（2006）“一种分类量子逻辑”，计算机科学中的数学结构16（3）。10.1017 / S0960129506005275

这些想法后来在本书的章节中得到了进一步发展：

邓肯·罗斯（Duncan，Ross，2010年），“量子计算的语义技术”，剑桥大学出版社，pp70--134 arXiv：0903.5154v1。

那里有完整的细节，但简短的版本是您的逻辑不一致，因为您对每个蕴涵都使用零证明，而其余证明等价于“矩阵”，其中矩阵条目是双乘积中的证明-逻辑的一部分。说到做到这一点无须加注，需要注意的是，证明的结果类别是某些公理类别的免费双乘产品类别。

— 罗斯·邓肯
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上面的一个小附录：我们对待紧凑型类别而不是常规类别，这一事实无需惊慌。实际上，此逻辑的加法和乘法部分相互作用较弱。与副产品有关的部分应大致保留下来。

— 罗斯·邓肯

我对类别理论了解不多，但这也许会有所帮助。控制双积类[Selinger]的图形图的方程式与深度推理证明理论[Guglielmi]中无负片的原子流[Gundersen]的方程式完全等效。这些证明系统以自然的方式等效于单调后续演算[Brunnler，Jerabek]。

不幸的是，在后面的领域中，类别理论似乎鲜有联系。

Selinger，P.www.mscs.dal.ca/~selinger/papers/graphical.pdf，第45页。

Gundersen，T.tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/50/92/41/PDF/thesis.pdf，第74页。

古列尔米（A. alessio.guglielmi.name）/ res / cos /

Brunnler，K.www.iam.unibe.ch/~kai/Papers/n.pdf

杰拉贝克（E.Jerabek），www.math.cas.cz /〜jerabek / papers / cos.pdf

— 阿努帕姆·达斯（Anupam Das）
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非常感谢！我有点忙，无法立即参考这些参考资料，但我会尽快对其进行研究。

— Neel Krishnaswami，2012年