P补全语言的密度

假设是布尔语言超过有限串，。令为长度为的字符串。对于函数从正整数的正实数，具有上部密度如果对于所有足够大。 $L$ $\{0,1\}$ $L_n$ $L$ $n$ $d(n)$ $L$ $d(n)$ $L_n \le 2^n d(n)$ $n$

是否有任何P完全布尔语言具有较高的密度？ $O(1/n)$

动机

PARITY具有上密度。是（所有有限二进制字符串的语言）的上限密度为1。任何有限语言的上限密度为0。 $1/2$
稀疏语言具有有一个多项式的属性，使得对于所有。如果是稀疏的语言，然后为一个多项式比度一个更大的，所以上部密度为零。 $L$ $p(n)$ $L_n - L_{n-1} \le p(n)$ $n$ $L$ $L_n \le p_1(n)$ $p_1$ $p$ $L$
Cai Jin-Yi和D. Sivakumar表明，除非P = L（= LOGSPACE），否则P完全语言不能稀疏。由于P = co-P，因此除非P = L，否则补语稀疏的任何语言也不能都是P完全的。
通过简单的不等式（例如，参见Rosser和Schoenfeld的推论2 1962），PRIMES具有较高的密度。问题是否知道PRIMES，FACTORING的问题是P难的？讨论PRIMES是否为P-hard（目前似乎已公开）。 $(\log_2 e)/n$
从某种意义上说，复杂性类的完整（或通用）语言包含该类的所有结构。因此，基于对Cai和Sivakumar的结果的粗略推断，我的初步假设是这样的语言不能太稀疏。定义稀疏语言的通常的多项式界限似乎过于严格，因此我要问的是一个较少限制的界限。

对工作lowness通过Fortnow，Hemaspaandra，和其他人也可能有关。

可以问除P以外的其他类的问题，但我想不起来任何可以建立 -SAT 密度的结果。指向相关文献的指针将是最受欢迎的。 $k$

另请参阅相关问题素数的条件密度。感谢@Tsuyoshi Ito和@Kaveh对这个问题的早期版本提供了有用的评论，不幸的是，该问题是不恰当的。

cc.complexity-theory reference-request p-hardness

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
source

我认为

（或另一个多项式分数）的字符串太多，更好的问题是询问上限和下限。

2^{n} / n

$2^n/n$

— 卡夫

我不知道常见的P-完全问题的密度是多少，但这是一个填充参数，显示了如何将任何密度降低到： $1/n$

$L_n \subseteq \{0,1\}^n$ $d(n) \in \omega(1/n)$ $L'_{n + m} = \{x0^m | x \in L_n\}$ $m$ $n$ $L'$ $L'_k = \emptyset$ $k \neq n + m$ $L'$

d^{'} (n + m) = \frac{| L_{n + m}^{'} |}{2^{n + m}} = \frac{| L_{n} |}{2^{n + m}} \leq \frac{d (n)}{2^{m}}

$d'(n + m) = \frac{|L'_{n + m}|}{2^{n + m}} = \frac{|L_n|}{2^{n + m}} \leq \frac{d(n)}{2^m}$

$M$ $L$ $M'$ $L'$ $x$ $n$ $m(n)$ $m(n) \in poly(n)$

$1/n$ $m(n) = n$ $d'(2n) \leq d(n)/2^n \in O(1/n)$

— Artem Kaznatcheev
source

m

$m$

n

$n$

1 / \log n

$1/\log n$

我认为是的，您只需要m = log log n。通常，对于m = f（n），您可以选择对数空间中的任何f（n为一元数）。（如果您希望减少费用，则为NC）。

— Artem Kaznatcheev