FO属性何时会消除NL硬度？

上下文： 我们仅考虑有向图。设CYCLE为带有循环的图的语言；这是一个NL完全问题。令HASEDGE为具有至少一条边的图的语言。那么平凡，不再是NL-硬，而住宿等等。 $\text{CYCLE} \cup \text{HASEDGE}$ $\text{CYCLE} \cup \overline{\text{HASEDGE}}$

实际的问题：我想知道，如果语言仍然NL-硬。

CYCLE \cup {(V, E) : (\exists u, v, x, y) [E (u, v) \land E (x, y) \land \neg E (u, y) \land \neg E (x, v)]}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E):(\exists u,v,x,y)[E(u, v) \land E(x, y) \land \neg E(u, y) \land \neg E(x, v)]\}$

问题：对于其中FO式上图的词汇是 NL-硬？这个财产可判定吗？ $\phi$

CYCLE \cup {(V, E) : (V, E) ⊨ ϕ}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E) : (V, E) \models \phi\}$

感谢您的输入！

cc.complexity-theory graph-theory descriptive-complexity

— 米歇尔·卡迪拉哈克（MichaëlCadilhac）
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Answers:

$\text{NODIAG}$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

$G=(V,E)$ $v$ $G$ $v$ $v'$ $(u,v)$ $E$ $G'$ $(u,v), (u,v'), (u',v)$ $(u',v')$ $G$ $G'$ $\neg \text{NODIAG}$

$G'$ $G$ $G'$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$ $G$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE}\cup \text{NODIAG}$

我认为类似的构造将适用于所有纯粹的通用财产。

— 扬·约翰森（Jan Johannsen）
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感谢您的工作Jan！但是我不确定您是否已完全解决了该问题，因为如果NODIAG结构出现在G中，它仍会出现在您的构造末尾AFAIU中。

— 米歇尔·卡迪哈克2011年

G^{'} ⊨ \neg NODIAG

$G'\models \neg \text{NODIAG}$

G ⊨ CYCLE

$G\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE

$G'\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE \cup NODIAG

$G'\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

G ⊭ CYCLE

$G\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE

$G'\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE \cup NODIAG

$G'\not\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

CYCLE

$\text{CYCLE}$

CYCLE \cup NODIAG

$\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

扬，对不起，我把问题的措辞弄乱了。所描述的子图应被视为排他图。请注意，使用前面的措辞，您只需要添加四个新节点和边，和使图形脱离NODIAG。再次，我很抱歉错别字。

u, v, x, y

$u,v,x,y$

u \to v

$u \to v$

x \to y

$x \to y$

u \to y

$u \to y$

— 米歇尔·卡迪哈克2011年

（PS：我欠您一个措辞不当的问题，这是一篇TCS论文，标题未出现在您的列表中：Tesson和Therien的Diamonds are Forever（The Variety DA）。）

— MichaëlCadilhac

在那种情况下，如何在每个边上添加一个新顶点：在中用和替换每个。所得图是循环的，而是，并且不具有排除的结构。顺便说一句，我不再维护该列表了。

G

$G$

e = (u, v)

$e = (u,v)$

(u, v_{e})

$(u,v_e)$

(v_{e}, v)

$(v_e,v)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— Jan Johannsen

实际的问题出在FO中。测试是否存在使得中的和显然在FO中。 $a,b,c,d \in V(G)$ $(a,c),(b,d) \in E(G)$ $(a,d),(b,c) \notin E(G)$

假定不存在这样的，然后承认有向循环当且仅当承认长度为2的周期定向。这可以从以下事实可以推断，对于任意两个顶点和的，它们的外街区和是这样的，或。 $a,b,c,d$ $G$ $G$ $a$ $b$ $G$ $N^-(a)$ $N^-(b)$ $N^-(a) \subseteq N^-(b)$ $N^-(b) \subseteq N^-(a)$

因此，足以检查是否存在使得中的在F中。 $a,b \in V(G)$ $(a,b),(b,a) \in E(G)$

所以，是在当且仅当 $G$ $CYCLE \cup NODIAG$ $(\exists a,b,c,d)[(E(a,b) \wedge E(c,d) \wedge \neg E(a,d) \wedge \neg E(b,c)) \vee (E(a,b) \wedge E(b,a))]$

— 阿德里安
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谢谢阿德里安。您是否愿意添加一个论点，以说明为什么任何两个节点的邻域都具有可比性？我将稍等一下，看看是否有人解决了完整的问题，如果没有人出现，我将为您解答。

— 2011年

我不认为周边地区的可比性真正成立。以仅四个顶点的图为例，它们的边缘为和。该图满足迈克尔公式，但是与无可比拟。

a, b, c, d

$a,b,c,d$

(a, c)

$(a,c)$

(b, d)

$(b,d)$

N^{-} (a) = {c}

$N^-(a) = \{ c\}$

N^{-} (b) = {d}

$N^-(b) = \{ d\}$

— 日，约翰·约翰森

@Jan：如果我没记错的话，Adrien的观点是，如果图形<i>不满足</ i>满足第二部分的要求，那么如果它有一个循环，则它的长度为2。因此，他的观点是如果图<i>不满足第二部分，则可比性成立。

— 2011年