将图划分为节点不相交的周期

相关问题： Veblen定理指出“图形只有在偶数时才允许循环分解”。循环是边不相交的，但不一定是节点不相交的。换句话说，“当且仅当每个顶点具有偶数度时，才能将图的边集划分为多个循环。”

我的问题：我想知道是否有人研究过将图划分为节点不相交的循环。也就是说，将图的顶点划分为，并且由诱导的每个子图都是汉密尔顿式的。 $V$ $G$ $V_1, V_2, \cdots, V_k$ $V_i$

是NP难还是容易？

更相关的问题： 分成三角形是NP完全的。（“计算机和棘手性”的第68页）

谢谢您的建议。^^

cc.complexity-theory graph-theory co.combinatorics

— 张鹏
source

匹配很简单。算法中众所周知的练习。

— 2011年

这是您的问题：en.wikipedia.org/wiki/Vertex_cycle_cover吗？

— 托马斯·阿勒

@ThomasAhle谢谢，我不知道那个维基页面。在该Wiki页面中称为“不相交周期覆盖”。

— 张鹏

划分成顶点不相交的循环与2正则子图是同一件事，通常称为2因数。可以通过基于匹配的算法在多项式时间内找到（如果存在）。~~例如，看到此链接。~~

ETA 2013年11月：从下面的评论看来，从上面链接的来源中得出的减少是错误的。但是，可以将问题简化为完全匹配的说法仍然正确。正确的归纳法是WT Tutte（1954）的“有限图的因子定理的简短证明”，加拿大J. Math。6：347-352。

替换每个顶点与度由一个完整的二分图，并且表示每个边缘由边缘原始图的从一个顶点到的一个顶点（在带有个顶点的分面），这样一来，在分面上，每个顶点都恰好有一个这样的边入射。 $v$ $d$ $G_v=K_{d,\,d-2}$ $uv$ $G_u$ $G_v$ $d$ $G_v$

然后，在修改后的图中的完美匹配，具有相匹配的对他们的bipartition的侧顶点与出的的另一面顶点，留下正好有两个免费的顶点需要与相匹配的其他子图邻居。这样，修改后的图的完美匹配将一对一与原始图的循环覆盖相对应。 $d-2$ $G_v$ $d-2$ $d$ $G_u$

— 大卫·埃普斯坦
source

我不明白我发现的关于该算法的所有提及均始于计算欧拉游记。但是，有很多图表可以循环播放而无需进行欧拉游览。如果我们不要求使用所有边，是否也在P中？

— 托马斯·阿勒

您读过我链接的文章了吗？我没有提到那里的欧拉之旅。

— David Eppstein

有点难以理解。当您通过将每个边改变为从到（）的边来构造，如何知道将哪个端放到以及将哪个端放到？该文件似乎是“只取第二个”，但它不是一个有向图..

E^{'}

$E'$

(i, j)

$(i,j)$

V

$V$

V^{'}

$V'$

(i, j^{'})

$(i,j')$

V

$V$

V^{'}

$V'$

— 托马斯AHLE

我的意思是，我还可以将每个方向上的每个无向边都转换为有向边，但是然后匹配可能会给我很多“长度2”个循环，不是吗？

— Thomas Ahle

@ThomasAhle显然混淆了条款；我的意思是一个规则生成图，又名因子

k

$k$

k

$k$

— Manfred Weis