范数保持图灵机

量子阅读最近的一些线程运算（在这里，在这里，和这里），让我记住了某种的力量一个有趣的问题范数保持机器。$\ell_p$

对于从事复杂性理论研究的人们来说，要实现量子复杂性，Fortnow的论文是一篇很好的介绍性文章，该链接由Joshua Grochow 在此处发布。在那篇论文中，量子图灵机被描述为广义概率图灵机。基本上，机器概率有一个状态下的归一化ℓ 1范数，即∥ 小号∥ 1 = 1。机器的时间演变是通过应用给定的随机矩阵P，使得∥ P 小号∥ 1 = 1，即P保留了$s$$\ell_1$$\parallel s\parallel_1=1$$P$$\parallel Ps\parallel_1=1$$P$范数。因此，时间 t处的状态为 P t s（表示法可能不精确，因为 P的左或右乘法取决于 s是行向量还是列向量，或者 P的行或列是保留范数的子空间）。因此，在这个意义上的概率图灵机是一个 ℓ 1范数保持机器表示中号ℓ 1。$\ell_1$$t$$P^ts$$P$$s$$P$$\ell_1$$M^{\ell_1}$

然后量子图灵机可以被看作是具有状态与∥ 小号∥ 2 = 1和酉矩阵P（即蜜饯ℓ 2个 -norms），使得P 吨小号是在时间的状态吨其中∥ P 吨小号∥ 2 = 1。这是一个ℓ 2范数保持机表示中号ℓ 2。$s$$\parallel s\parallel_2=1$$P$$\ell_2$$P^ts$$t$$\parallel P^ts\parallel_2=1$$\ell_2$$M^{\ell_2}$

一般一个让范数保持机器通过来表示中号ℓ p。$\ell_p$$M^{\ell_p}$

所以我的问题是：

（1）什么是功率范数保持机器有限p？更正式地，我们可以证明，对于任何给定的p和q，如果q > p则存在一个语言大号和机器中号ℓ q，使得中号ℓ q有效地决定大号并没有机器中号ℓ p能够有效地决定大号。例如，这可能是问题的一般化，是Ñ P ⊆ 乙Q P？。$\ell_p$$p$$p$$q$$q>p$$L$$M^{\ell_q}$$M^{\ell_q}$$L$$M^{\ell_p}$$L$$NP \subseteq BQP$

（2）那么呢？这里，状态向量的分量的最大值为1。$p=\infty$

（3）这些问题超出了单一性，因此预计不会与量子力学一致。通常，如果放宽对操作的统一性限制，对计算会发生什么？有一些关于允许非线性运算符的工作（请参阅Aaronson 2005）。

（4）也许最重要，它是否通用？我认为这很清楚，因为在特定情况下它是通用的。但是，当时，通用性会发生什么？$p=\infty$

这不是对问题的完整答案，但是写为评论太长了。它扩展了我先前的评论。

斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）的一篇有趣的论文[Aar04]详细讨论了“如果对量子力学的公理作一些修改，对计算会发生什么？”这一问题。我相信您的问题基本上会在[Aar04]第2部分的前半部分得到回答。

Aaronson表明，如果p> 0且p≠2，则保留所有向量的p范数的矩阵必然是广义置换矩阵（置换矩阵和对角矩阵的乘积）。他指出在p =∞的情况下也是如此。所有这些对于ℝ和ℂ都适用。请注意，这包括p = 1的情况：随机矩阵为非负向量保留1-范数，但通常不会为所有向量保留1-范数。

我猜想[For00]中概括的概率图灵机只有在它是确定性图灵机时才具有广义置换矩阵作为其全局转移矩阵，但是我手头没有证据。

亚伦森在论文中还讨论了量子力学公理的其他一些修改。例如，如果我们更改测量规则（而不是允许的门集合），以使结果x以| _αx |的概率出现。^p / ∑ _y | _αy | ^p，其中_αy是|y⟩的幅值，则该“量子计算机”可以在多项式时间内解决PP中的任何问题（包括NP完全问题），除非p = 2（命题5）。

参考文献

[Aar04]斯科特·亚伦森。量子力学是理论空间中的一个孤岛吗？在Växjö会议的论文集“ Quantum Theory：Reconsideration of Foundation”（2004年）中 。arXiv：quant-ph / 0401062 v2。

[For00] Lance Fortnow。一种复杂性理论家对量子计算的看法。在计算：澳洲的理论研讨会（CATS 2000），页58-72，2000年1月 http://dx.doi.org/10.1016/S1571-0661(05)80330-5

$p \not\in \{1,2\}$$\ell_p$$\left| \psi_i \right|^p$

$\ell_p$$\ell_1$$\ell_2$$\Omega(N^{1/p})$$\ell_\infty$$\ell_p$$\ell_q$$1/p+1/q=1$$\ell_p$$p$