是否有没有归纳法可以捕获大量P的逻辑？

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所述Immerman-瓦迪定理指出PTIME（或P）恰恰可以由一阶逻辑的一个句子连同一个定点操作进行描述，在所述类有序结构的类的语言。定点算子可以是最小定点（Immerman和Vardi认为），也可以是通货膨胀定点。（斯蒂芬·克罗伊策（Stephan Kreutzer），最小和膨胀定点逻辑的表达等价，《纯粹逻辑和应用逻辑纪事》130 61–78，2004年。

尤里·古列维奇（Yuri Gurevich）猜想没有逻辑捕捉PTIME（《逻辑与计算机科学的挑战》，《理论计算机科学的最新趋势》，埃贡·博格编辑，1-57，计算机科学出版社，1988年），而马丁·格罗（Martin Grohe）则表示不确定性（寻求逻辑捕获PTIME的追求，FOCS 2008）。

定点运算符旨在捕获递归的功能。定点功能强大，但是对我而言，定点不是必需的。

是否存在不基于定点的运算符X，这样FOL + X会捕获PTIME的（大）片段？

编辑：据我了解，线性逻辑只能表达关于具有严格限制形式的结构的陈述。理想情况下，我希望看到对逻辑的引用或草图，该逻辑可以表达任意关系结构集的属性，同时仍然避免不动点。如果我对线性逻辑的表达能力有误，那么将欢迎使用指针或提示。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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所谓“逻辑”，是指Grohe的意思：词汇表上可确定的一组句子，有限结构和句子之间的关系“是模型”，其属性是句子的模型集在同构下总是闭合的。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

有关是否存在捕获PTIME的逻辑的问题，另请参见cstheory.stackexchange.com/questions/174/…。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

线性逻辑是一个命题包含古典命题逻辑的逻辑。它可以扩展为允许量词。但是，如果我没记错的话，线性逻辑（命题）和复杂性类之间的关系不同于Grohe的想法，至少我看不出如何将线性逻辑与有限结构的查询联系起来。

— 卡夫

存在基于线性逻辑的集合理论，例如Terui的轻仿射集合理论，其特征是，当且仅当该函数可在多项式时间内计算出时，该函数才能被证明为总函数。参见citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.99.730

— Neel Krishnaswami 2010年

1

卡夫，这就是为什么我将赏金授予斯利姆顿的原因。更详细的答案还是不错的。

— 安德拉斯·萨拉蒙

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您想看一看一些人所说的Grädel定理。您可以在Papadimitriou的书“计算复杂性”（第176页的定理8.4）或Grädel的原始论文中找到它。

简而言之，格莱德尔定理是P，而费金定理是NP。它指出，在具有后继关系的一类有限结构上，多项式时间可确定性的集合与存在性二阶逻辑的霍恩片段中可表达的那些一致。这些是形式的二阶逻辑语句，其中是二阶关系变量序列，是一阶变量序列，并且是一个无量词的公式，当以CNF形式编写时，它是 -Horn子句（即，具有至多一个涉及的变量的非负原子的子句）的连接。

(\exists R) (\forall x) (ϕ)

$(\exists R)(\forall x)(\phi)$

R

$R$

x

$x$

ϕ

$\phi$

R

$R$

R

$R$

— 斯利姆顿
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3

糟糕，现在我再次阅读了您的问题，我意识到它与以前的版本有些不同。现在，您需要一个运算符X，以便FOL + X捕获一个大的P片段。在这种情况下，您应该看看Dawar的< ahref="logcom.oxfordjournals.org/content/5/2/… >。表示如果P有逻辑，那么用广义量词扩展FOL就是一个逻辑

— Slimton 2010年

3

我应该补充一点，裸露结构上存在的二阶逻辑的Horn片段相当弱：裸露结构上LFP的适当子集。我们需要后继者来得到格拉德尔定理。达瓦尔的结果是赤裸裸的结构。

— slimton 2010年

8

据我了解，线性逻辑只能表达有关限制性形式的结构的陈述。理想情况下，我希望看到对逻辑的引用或草图，该逻辑可以表达关系结构的任意集合的属性，同时仍避免不动点。如果我对线性逻辑的表达能力有误，那么将欢迎使用指针或提示。

这是不对的：所有剩余的交换单调格子都是线性逻辑的模型。这是一种从有限图创建此类晶格的简单方法。从集合开始

M = {(g, n) | g is a finite graph and n \subseteq n o d e s (g)}

$M = \{(g, n) \;|\; g\mbox{ is a finite graph and }n \subseteq \mathrm{nodes}(g)\}$

因此，我们的强迫关系将是，直觉是是公式 “拥有”的节点集。有一个部分运算，定义为： $(g,n) \models \phi$ $n$ $\phi$ $(\cdot) : M \times M \to M$

(g, n) \cdot (g^{'}, n^{'}) = {\begin{cases} (g, n ⊎ n^{'}) & when g = g^{'} \land n \cap n^{'} = \emptyset \\ u n d e f i n e d & otherwise \end{cases}

$(g,n) \cdot (g',n') = \left\{\begin{array}{ll} (g, n \uplus n') & \mbox{when } g = g' \land n \cap n' = \emptyset \\ \mathrm{undefined} & \mbox{otherwise} \end{array}\right.$

如果图相等且拥有的集不相交，则这两个元素通过合并其拥有的集来合并。

现在，我们可以给出一个线性逻辑模型，如下所示：

\begin{array}{lcl} (g, n) ⊨ I & ⟺ & n = \emptyset \\ (g, n) ⊨ ϕ \otimes ψ & ⟺ & \exists n_{1}, n_{2} . n = n_{1} ⊎ n_{2} and (g, n_{1}) ⊨ ϕ and (g, n_{2}) ⊨ ψ \\ (g, n) ⊨ ϕ ⊸ ψ & ⟺ & \forall n^{'} . if n \cap n^{'} = \emptyset and (g, n^{'}) ⊨ ϕ then (g, n ⊎ n^{'}) ⊨ ψ \\ (g, n) ⊨ ⊤ & ⟺ & always \\ (g, n) ⊨ ϕ \land ψ & ⟺ & (g, n) ⊨ ϕ and (g, n) ⊨ ψ \end{array}

$\begin{array}{lcl} (g,n) \models I & \iff & n = \emptyset \\ (g,n) \models \phi \otimes \psi & \iff & \exists n_1,n_2.\; n = n_1 \uplus n_2 \mbox{ and } (g,n_1) \models \phi \mbox{ and } (g,n_2) \models \psi \\ (g,n) \models \phi \multimap \psi & \iff & \forall n'.\; \mbox{if } n \cap n' = \emptyset \mbox{ and } (g,n') \models \phi \mbox{ then } (g,n \uplus n') \models \psi \\ (g, n) \models \top & \iff & \mbox{always} \\ (g,n) \models \phi \land \psi & \iff & (g,n) \models \phi \mbox{ and } (g,n) \models \psi \end{array}$

该模型实际上是分离逻辑中使用的模型的变体，分离逻辑广泛用于验证堆操作程序。（如果愿意的话，可以将图形视为堆的指针结构，这样的类比是准确的！）

但是，这并不是真正考虑线性逻辑的正确方法：它的真实直觉是证明理论的，而与复杂性的联系是通过消除消除定理的计算复杂性来实现的。线性逻辑的模型理论是其证明理论所蒙上的阴影。

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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图结构在上述模型中起什么作用？如果我们说g在离散图中处于范围内，则上述定义似乎很好。

— 查尔斯·斯图尔特

由于可以使用任何（部分）交换对半定式给出BI /线性逻辑的模型，因此图结构不用于解释和 -仅对原子命题有意义。例如，在分离逻辑中，存在一个“指向”原子命题，我们使用指针结构对其进行解释。

\otimes

$\otimes$

⊸

$\multimap$

n \mapsto n^{'}

$n \mapsto n'$

— Neel Krishnaswami 2013年

8

关于寻找捕获PTIME的逻辑的最新令人兴奋的结果。Cai，Fürer和Immerman的著名例子表明LFP + C不能捕获PTIME，但这是基于看似人造的图类。当然，它是为演示LFP + C的限制而设计的。直到最近，达瓦尔才表明这门课根本不是人工的。LFP + C无法求解线性方程组的事实可以作为一个示例！

因此，Dawar，Grohe，Holm和Laubner由线性代数的算子（例如，由算子定义了可定义矩阵的秩）扩展了逻辑。生成的逻辑LFP + rank的表达严格可以超过LFP + C，实际上，没有LFP + rank无法表达的已知PTIME属性。

甚至FO + rk的功能也令人惊讶地强大，它可以表达确定性和对称的传递闭包。它是否可以表示图的一般传递闭合仍是开放的。

— 塞巴斯蒂安·西伯茨（Sebastian Siebertz）
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1

请注意，Anderson / Dawar / Holm最近表明FP + C可以表达线性编程（arxiv.org/abs/1304.6870）。这破坏了按照“ FP + C无法求解线性方程组”的观点对达瓦尔的早期结果的解释；达瓦尔只声称某些 “涉及线性方程组的自然问题无法在这种逻辑中定义”，他似乎用这种方法来进行等级计算。

— 安德拉斯·萨拉蒙

7

根据“捕获”的含义，可能会引起Yves Lafont的软线性逻辑和多项式时间的影响。在此逻辑和PTIME算法中，与证明的1-1对应关系是将字符串作为输入和输出0或1。

维基百科有关线性逻辑的文章在这里。这不是定点逻辑。对我来说，“用代数代替布尔代数的经典逻辑”的直觉是最容易理解的。 $C^*$

— 亚伦·斯特林
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1

我认为安德拉斯想要描述性的意义上的逻辑。

— 卡夫

7

让·伊夫·吉拉德（Jean-Yves Girard），安德烈·斯切德罗夫（Andre Scedrov）和菲利普·斯科特（Philip Scott）也是在线性逻辑领域中对此问题进行的一些较早的研究。有界线性逻辑：多项式时间可计算性的模块化方法。理论计算机科学，97（1）：1-66，1992。

最近的工作包括有界线性逻辑，由Ugo Dal Lago和Martin Hofmann 重新审视。

— 戴夫·克拉克
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