线性逻辑中的自动定理证明

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在缺乏收缩的线性和其他命题子结构逻辑中，自动定理证明和证明搜索是否更容易？

在哪里可以找到有关这些逻辑中自动定理证明以及收缩在证明搜索中的作用的更多信息？

— 匿名
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其他资源可以发现在Kaustuv乔杜里的论文“中所引用的聚焦反法线性逻辑 ”，你可能会感兴趣的罗伊Dyckhoff的“ 收缩-免费Sequent的结石 ”，这是关于收缩，但不是线性逻辑。

线性逻辑中有可能进行有效的证明搜索，但是我认为当前的工作并不表明它比非结构逻辑中的证明搜索容易。问题是，如果您想在线性逻辑中证明，则还有一个在普通证明搜索中没有的额外问题：是用来证明还是用来证明？实际上，这种“资源不确定性”是在线性逻辑中进行证明搜索的一个大问题。 $C \vdash(A \otimes B)$ $C$ $A$ $C$ $B$

根据评论，如果您想对诸如“更轻松”之类的词有所了解，Lincoln等人的1990年“ 命题线性逻辑的决策问题 ”是很好的参考。

— 罗伯·西蒙斯
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证明在LL中搜索是否比IL难？ISTR，经典命题逻辑是NP完全的，直觉命题逻辑是PSPACE完整的，直觉线性逻辑（带有）是不确定的。

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$!A$

— Neel Krishnaswami

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@Neel：指数是潜入收缩的一种设备。此外，加性连接词在内部的表现就好像它们具有收缩一样，因此您也不希望它们同时收缩。剩下的就是MLL，它确实是NP完整的（不同于经典逻辑，它不是您所说的NP完整，而是coNP完整）。特别是，每个MLL重言式都有一个多项式大小的证明。但是，正如Rob所解释的那样，要确定性地找到该证明并不容易（这是一件好事，因为我们希望NP不在次

— 幂

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你们俩都指出我是在非正式地谈论为什么线性逻辑“不那么容易”的问题-从正式意义上讲，MALL证明搜索更加困难，而全线性逻辑证明搜索仍然更加困难。您将引用的大多数（如果不是全部）结果来自Lincoln等人在1990年的论文“命题线性逻辑的决策问题”中。

— 罗布·西蒙斯

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@Emil-我从未遇到过MLL和经典逻辑之间的有趣区别。MLL在NP中是因为它的见证人必须很小...但是经典的命题后续证明不必是多项式大小的（而且我想通常不能将为大小）。没有经典的后续证明的的多项式见证人是什么？

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A

$A$

— 罗布·西蒙斯

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@Rob Simmons：对其否定表示满意。

— 卡夫

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不，这只会越来越困难。

正如直觉命题逻辑的决策问题比经典命题逻辑的决策问题更难，线性命题逻辑的决策问题也更难。无论是指数形式（不缺乏收缩）还是各种形式的非交换性连接词，逻辑都变得不确定，甚至弱势的经典MALL都是PSPACE完整的。相比之下，经典命题逻辑的决策问题是co-NP完整的，而直觉命题逻辑的决策问题是PSPACE完整的。（暂时，我不知道直觉式MALL的复杂性。）

我推荐Pat Lincoln在其线性逻辑的第六部分SIGACT News 1992中进行阐述。从那时起，我们学到了很多东西，也就是说，我们已经获得了许多线性逻辑的结果，但是基本的概念就在那里。

在某种程度上，这就是使线性逻辑的证明搜索变得有趣的原因，因为决策问题的难度为更多有趣的计算概念腾出了空间，而线性逻辑很难以许多不同的方式进行。Andrej指出了Dale Miller的“线性逻辑编程概述”；这是一个不错的地方，因为Miller在开发证明搜索的想法方面做得比其他人更多。

— 查尔斯·斯图尔特
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@Kaveh：误记而不是错字；固定。我应该提到MLL。

— 查尔斯·斯图尔特

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假设可证明性问题的复杂性会让您满意，那么在有或没有收缩的情况下，子结构逻辑的复杂性都会有些复杂。我将在这里尝试研究一下命题线性逻辑和命题逻辑。简短的答案是，收缩有时会有所帮助（例如，LLC是可确定的，而LL不是，而有时则无济于事）（例如，MALL是PSPACE完整的，MALLC是ACKERMANN完整的）。

命题逻辑

CL：古典逻辑
IL：直觉逻辑
LL：线性逻辑，片段MLL（乘法），MELL（乘法指数），MALL（乘法加法）
LLW：仿射逻辑，即弱化的LL，与上面相同的片段
LLC：收缩线性逻辑，即具有收缩的LL，与上面相同的片段
$_\to$ $_{\to,\wedge}$

可证明性的复杂性

NP完整：MLL [Kan91]
共NP-完全：CL
PSPACE-complete：IL [Sta79]，MALL [Lin92]
$_\to$
完整塔楼：MELLW，LLW [Laz14]
$_{\to,\wedge}$
$\Sigma_1^0$

$_\to$

参考文献

[Kan91] Max Kanovich，线性逻辑的乘法片段是NP-complete，研究报告X-91-13，语言，逻辑和信息学院，1991年。
[Laz14] RankoLazić和Sylvain Schmitz，分支VASS，MELL和扩展的非基本复杂性，手稿，2014年。arXiv：1401.6785 [cs.LO]
[Lin92] Patrick Lincoln，John Mitchell，Andre Scedrov和Natarajan Shankar，命题线性逻辑的决策问题，《纯粹逻辑与应用逻辑志》 56（1-3）：239-311，1992. 10.1016 / 0168-0072（92） 90075-B
[Sch14] Sylvain Schmitz，“ 隐含相关逻辑是2-ExpTime-complete”，手稿，2014年。arXiv：1402.0705 [cs.LO]
[Sta79]理查德·斯坦曼（Richard Statman），直觉命题逻辑是多项式空间完全的，理论计算机科学9（1）： 67-72，1979。doi：10.1016 / 0304-3975（79）90006-9
[Urq84] Alasdair Urquhart，蕴含度和相关含义的不确定性，符号逻辑杂志49（4）：1059–1073，1984。doi ：10.2307 / 2274261
[Urq99] Alasdair Urquhart，决策程序在相关逻辑II中的复杂性，《符号逻辑杂志》 64（4）：1774–1802，1999。10.2307 / 2586811

— 西尔万
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也许Dale Miller的线性逻辑编程概述是一个很好的起点？

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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