找到最佳加成链很难吗？

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一个加法链是正整数的序列 $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ ，其中 $x_1 = 1$ ，并且每个索引 $i\ge 2$ ，我们有 $x_i = x_j + x_k$ 一些指数 $1\le j,k < i$ 。加成链的长度为 $n$ ；加法链的目标是 $x_n$ 。

对于以下问题的复杂性了解多少：给定整数，目标为的最短加法链的长度是多少？是NP难吗？ $N$ $N$

维基百科指出Downey，Leong和Sethi于1981年发表的一篇论文证明了以下相关问题是NP-难的：给定整数集，包括整个集合的加法链的最小长度是多少？几位作者显然声称，本文证明了单目标问题是NP难题，但事实并非如此。

reference-request np-hardness

— 杰夫斯
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两个问题：

以我认为的二进制形式给出，并且

和

可以相同（如果是，则总是通过二进制扩展生成长度为log n的序列）

N

$N$

j

$j$

k

$k$

— Suresh Venkat

假设

以二进制形式给出，尽管即使

是一元也不知道多重时间算法。是的，允许自己添加内容-实际上，这是起步阶段所必需的。128的最短链为（1、2、4、8、16、32、64、128）。

N

$N$

N

$N$

— Jeffε

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早在2002年Eric Lehman的博士学位论文“基于语法的数据压缩的近似算法”中就提到了这个问题。

“尽管如此，加法链问题的精确解决方案仍然难以捉摸。M元方法在时间polylog（n）上运行并给出1 + o（1）近似值。但是，即使允许以指数方式增加时间，poly（ n），尚无确切的算法。”

— 安德鲁·W
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在雷曼论文的主要论文上，对该问题进行了很好的概述（第VB节），并带有参考文献。

— al
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我想记录一下多项式时间算法的部分进展-到目前为止看来似乎很有希望。更新：添加了一些详细信息，以解决@David指出的故障（谢谢！）。

该方法是将其简化为MINONE-EVEN-3 CSP（MOEC）的实例，这恰好是多项式时间可解决的问题。减少的证明有点模糊，但我希望它存在！

MOEC的一个实例是变量宇宙和整数的个子集的族。现在的问题是，是否有至多重量的满足分配，其中分配是从宇宙的函数，分配的权重为的变量，它分配一个数，以及分配是对于变量每个子集，满足（即）的属性是否满足以下条件： $3$ $k$ $k$ $\{0,1\}$ $\{x,y,z\}$ $f$

。 $f(x) + f(y) + f(z) = 0 (mod ~~2)$

您可以将其可视化为3-SAT，具有不同的可满足性概念-不选或选两个。对于MOEC 的实例，我会有些松懈，因为除了通常的个子集之外，我还将考虑长度2的含义，析取和约束。我相信这些简单的加法将保留问题多项式的时间。 $3$ $(x = 1)$

假设我们要减少数字的加法链问题 $n$ 。为此减少量设置的变量如下：

对于每一个，变量。我将重新写变量如。对于每对使得，引入变量和。 $1 \leq i \leq n$ $N_i$ $N_n$ $N$ $i,j$ $1 \leq i,j \leq k$ $P_{ij}$ $Q_{ij}$

为每个引入以下子集，使得： $i,j,k$ $k = i+j$

$\{P_{ij}, Q_{ij}, N_k \}$

以及以下含义：

和 $P_{ij} \Rightarrow N_i$ $P_{ij} \Rightarrow N_j$

以及以下约束：

。 $(N_1 = 1), (N = 1)$

最后，我们需要添加约束条件，以确保在为“对应的” 变量（避免使用符号）分配一个时，至少选择了变量之一。这可以通过在所有加上通常的OR约束，以使 sum到 $P$ $N$ $P_{ij}$ $i + j$ $N$ 变量来完成。但是，我们必须找到一种在MOEC框架中对此进行重新编码的方法。

因此，让我概述给出一组变量的一般表达方式：

$(X, l_1, l_2, \ldots, l_t)$ ，

如何用MOEC语法编码约束“如果满足一个满足并将设置为1，则必须通过该赋将的确切之一设置为1”。请注意，这足以满足我们的要求，我们只需介绍一下约束即可： $X$ $l_i$

。 $(N_k, \{ P_{ij} ~|~ i + j = k \})$

编码如下。令为叶子上的根完整的二叉树。引入新的变量对所有和，其中，表示的节点的数目在深度。 $T_X$ $t$ $T_{di}$ $1 \leq d \leq \log t$ $1 \leq i \leq {\cal L}(d)$ ${\cal L}(d)$ $T_X$ $d$

对于每个节点，如果和是树中的子节点，则引入EVEN-3约束： $T_{di}$ $p$ $q$

$\{T_{di},p,q\}$

这意味着，如果将与某个节点相对应的变量设置为true，则其子对象之一也必须正确设置为true。现在添加含义：

和 $(X \Rightarrow T_{11})$ $(d_{\log t,j}) \Rightarrow l_j$ （逗号为了清楚）。

EVEN-3约束和含义的这种组合等效于我们希望编码的约束。

直观地，发生的是最后两个约束恰好触发了建立加成链所需的反应。特别地，让我们看一下由令人满意的分配分配给一个的－声称它们将为形成一个加法链：由于该分配被迫将设置为1，因此至少必须存在设置为1的一个，以及影响力和 $N_i$ $N$ $N$ $P_{ij}$ $N_i$ $N_j$ 被分配一个，然后一直向下（我确定可以通过归纳法将其形式化，尽管我还没有得出详细的水平）。请注意，在分配的数量上最佳的令人满意的分配不会为两对和设置 true ，因为变量带有附加变量含义的包而变量不行（它们是为了确保EVEN-3可满足性-在为真且的子句中 $P_{ij}$ $(r,s)$ $(r',s')$ $P$ $Q$ $N_i$ $P_{ij}$ is not true, we still need to pick something to satisfy that clause, and for reasons that are easy to see, this cannot be one universal variable across clauses).

So I believe an addition chain corresponds to a satisfying assignment and vice-versa. Let me describe one part of this somewhat formally: given an addition chain, we construct an assignment $f$ that is satisfying. To begin with, $f$ sets all $N_i$ 's that feature in the chain to one, and the other $N_i$ 's to zero. Further, if $k$ features in the addition chain, then for each $N_k$ , let $i_k,j_k$ be the elements in the chain such that $i_k + j_k = j$ . Then $f$ sets $P_{i_k j_k}$ to one (and $Q_{i_k j_k}$ to zero), and all $(i,j)$ such that $i \neq i_k$ and $j \neq j_k$ and $i+j = k$ , $f$ sets $Q_{ij}$ to one (and $P_{ij}$ to zero). For all $k$ that don't feature in the addition chain, for all $i,j$ such that $i+j = k$ , set all $Q_{ij}$ and $P_{ij}$ to zero (notice that consistency follows from the fact that two numbers add up in only one way). Every clause involving a $N_i$ in the chain is satisfied because either a P-variable or Q-variable corresponding to it was set to one (and notice that exactly one of them are set to one for any pair $(i,j)$ ). For every other clause, everything is set to zero. That the implications hold is easy to check.

The part that is unclear is the following: because for every element $t$ chosen in the addition chain, the assignment incurs a weight of $t$ (because of all the $Q$ -variables being set to one). So there is a possibility that a longer additional chain would correspond to a cheaper assignment, but I am quite sure this doesn't happen because of a proof along the following lines: consider an optimal addition chain and suppose there is a longer one that has a smaller-weight satisfying assignment corresponding to it. Clearly, the elements of the longer chain exclude at least one from the shorter one - let that element be $x$ . I wish to say that the cost incurred with $x$ is incurred in the longer chain anyway, and the remaining compares favorably. However, I have to write this down carefully, and I might just be seeing things from post-midnight syndrome!

— Neeldhara
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If this does work, it seems that it would still be exponential time (when N is expressed in binary) because the number of variables is proportional to N^2 rather than polylog(N).

— David Eppstein

Ah yes, I should have emphasized that. I was thinking of

N

$N$ in unary following @JeffE's remark that even that is not clear. I do plan to think about cutting down the instance size further, but at the moment am more keen on ensuring this is alright. If it is, I think there is room aplenty for improvement. Incidentally, would you find the approach promising?

— Neeldhara

I don't see how the constraints you describe force a solution to be valid. What stops you from setting P_ij=0 and Q_ij=1 for all i+j=n, and P_ij=Q_ij=0 for all other i,j?

— David Eppstein

Thanks for wading through that! And yes, you are quite right; I meant to add a constraint that said any of the

N_{i}

$N_i$ 's implies one of the relevant

P_{i j}

$P_{ij}$ 's, but realized it blows up the complexity of the instance into the Hitting Set domain, and while I meant to fix it, I think I forgot about it instead. I have updated the answer with a possible fix, it's just a slightly tedious (but simple) construction.

— Neeldhara