同时计算n个输入位的AND和OR所需的二进制门数

同时计算输入位的AND和OR所需的最小数量的二进制门是多少？微小的上限是。我认为这是最佳选择，但是如何证明这一点呢？标准选通消除技术在这里不起作用，因为通过为任何输入变量分配一个常量可以使输出之一微不足道。 $n$ $2n-2$

该问题在Ingo Wegener的“布尔函数的复杂性”一书中以练习5.12的形式给出了稍有不同的形式：“让。通过消除方法，人们只能证明大小为下界。请尝试证明更大的下界。” $f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$ $n+\Omega(1)$

cc.complexity-theory lower-bounds circuit-complexity

— 亚历山大·库里科夫（Alexander S.Kulikov）
source

@Ryan：问题不是关于OR的AND ，而是关于AND 和 OR。我不知道萨沙问题的答案。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@TsuyoshiIto谢谢，以某种方式我设法不正确地解析它。这绝对是一个不平凡的问题-人们可以想象使用其他类型的门来获得的优势。

2 n - 2

$2n-2$

— 瑞安·威廉姆斯

@Sasha，您是否尝试过将SAT解算器应用于一些较小的示例（如），就像您之前的一些论文一样？

n = 4

$n=4$

— 瑞安·威廉姆斯

@Ryan是的，可以。我们知道的是，

，

。这是针对本书中的功能的（如果所有

输入位都相等，则为

）。增长为

。和尺寸的电路

很容易构建体：第一计算

对于所有

（

C_{3} = 3

$C_3=3$

C_{4} = 5

$C_4=5$

C_{5} \leq 7

$C_5 \le 7$

1

$1$

n

$n$

2 n - 3

$2n-3$

2 n - 3

$2n-3$

x_{i} \equiv x_{i + 1}

$x_i \equiv x_{i+1}$

i = 1, \dots, n - 1

$i=1,\dots,n-1$

门），然后计算它们（的结合

门）。

(n - 1)

$(n-1)$

(n - 2)

$(n-2)$

— 亚历山大·库里科夫

@Tsuyoshi：我认为

栅极萨莎的功能是问题的第二函数（

），其能够与内置

XNOR门（施加到

）和

与门施加到XNORs。

2 n - 3

$2n-3$

f_{n} (x) = x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$

n - 1

$n-1$

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i,x_{i+1}$

n - 2

$n-2$

— Marzio De Biasi

Answers:

Blum＆Seysen的这篇论文可能有用：

N.Blum，M.Seysen。同时计算AND和NOR的所有最优网络的特征。Acta Inf。21：171-181（1984）

我以为，对于下界可以使用百隆＆Seysen的方法获得，但似乎不是这种情况。 $x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots\bar{x}_n$ $2n-c$

— 弗拉基米尔·利西科夫（Vladimir Lysikov）
source

是否有Blum和Seysen论文的公开pdf版本？

— Marzio De Biasi

@Vladimir，谢谢您的参考！找到文章时，我将尝试检查其方法在这种情况下是否适用。

— 亚历山大·库里科夫

@弗拉基米尔，再次感谢！实际上，本文甚至包含了我的问题anv的确切答案：它说要同时计算AND和OR，一个人需要

而任何这种大小的电路都将独立计算AND和OR （这很有趣！）。它也不难证明

。

2 n - 2

$2n-2$

C (f_{n}) \geq C (A N D, O R) - c \geq 2 n - c^{'}

$C(f_n) \ge C(AND,OR)-c \ge 2n-c'$

— 亚历山大·库里科夫

@Sasha，是的，我错过了这个简单的结构。为了澄清的事情，在报纸上和NOR功能考虑，所以对于AND和OR我们得到

通过改变一个门和下限

---

2 n - 2

$2n-2$

x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots \bar{x}_n$

2 n - 5

$2n-5$

— 弗拉基米尔·利西科夫

提醒一下@SashaK。如果您喜欢答案，请单击投票计数下方的对勾标记，以“接受”答案。

— Suresh Venkat

您的问题与一个众所周知的问题有关，即使用最少的比较数同时计算列表的最小值和最大值。在这种情况下，答案是 $3\lfloor n/2 \rfloor$ 。

证明上限的聪明算法会将您转换为具有相同上限的AND / OR电路，因为其中一项比较会计算最小值和最大值。

但是，至少在单调电路的情况下（由于“与”或“或”电路转换为最大/最小算法），下限（由对手自变量给出）似乎确实可以转换。这将意味着一个下界 $3\lfloor n/2 \rfloor$ 。通过分析对手的论点也许可以得到一个严格的下限。

上限出现在“算法简介”中，在这里您还可以找到简单的参数，表明最大/最小比较器电路有效，前提是它们适用于布尔输入（使用适当的阈值）。下限可以在这里找到。

— Yuval Filmus
source

请注意，在Sasha的问题中，所有2位布尔函数都可用于构造电路。

— 瑞安·威廉姆斯

是的，尚不清楚如何将下限转换为所有二进制函数的情况。

— 亚历山大·库里科夫