公制TSP的近似算法

众所周知，度量TSP可以在范围内近似，并且不能比123更好。$1.5$多项式时间为 122。是否知道有关在指数时间内找到近似解的信息（例如，在只有多项式空间的情况下少于2n步）？例如，在什么时间和空间我们可以找到距离最大为1.1×OPT的游览？$123\over 122$$2^n$$1.1\times OPT$

我研究了这个问题，并找到了TSP的最著名算法。

$n$是顶点数，$M$是最大边缘权重。给定所有界限，直到输入大小的多项式因数（$poly(n, \log M)$）为止。我们用ATSP表示非对称TSP。

1. TSP的精确算法

1.1。通用ATSP

$M2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log (Mn)})}$时间和$exp$空间（Björklund）。

$2^n$时间和$2^n$空间（Bellman；Held，Karp）。

$4^n n^{\log n}$时间和$poly$ -space（古列维奇，沙拉;比约克伦，Husfeldt）。

$2^{2n-t} n^{\log(n-t)}$时间和$2^t$空间，其中$t=n,n/2,n/4,\ldots$（Koivisto，Parviainen）。

$O^*(T^n)$任意 √的 O ∗（T n）时间和$O^*(S^n)$空间$\sqrt2<S<2$且$TS<4$（Koivisto，Parviainen）。

$2^n\times M$时间和多空间（Lokshtanov，Nederlof）。

$2^n\times M$时空$M$（Kohn，Gottlieb，Kohn;Karp;Bax，Franklin）。

即使对于Metric TSP，也没有什么比上述算法更好的了。开发具有多项式空间的TSP的$2^n$算法是一个巨大的挑战（请参阅开放式问题2.2.b，Woeginger）。

1.2。TSP的特殊情况

$1.657^n\times M$向TSP的时间为 1.657 n × M，错误概率以指数形式变小（Björklund）。

$(2-\epsilon)^n$与有界平均程度的图表和指数空间TSP，$\epsilon$仅取决于图（的程度西甘，Pilipczuk;比约克伦，卡斯基，Koutis）。

$(2-\epsilon)^n$$poly$$\epsilon$

$1.251^n$$poly$

$1.890^n$$poly$$4$

$1.733^n$$4$

$1.657^n$$poly$

$(2-\epsilon)^n$$d^n$$d$

2. TSP的近似算法

2.1。通用TSP

除非P = NP（Sahni，Gonzalez），否则不能在任何多项式时间可计算函数中近似。

2.2。公制TSP

$3 \over 2$

不能以大于的比率近似$123\over 122$

2.3。图形TSP

$7\over5$

2.4。（1,2）-TSP

MAX-SNP很难（Papadimitriou，Yannakakis）。

$8 \over 7$

2.5。尺寸标注中的TSP

固定维数欧氏空间中用于TSP的PTAS（Arora；Mitchell）。

$\log{n}$

用于TSP的PTAS，其度量具有有界加倍维度（Bartal，Gottlieb，Krauthgamer）。

2.6。有向三角形不等式的ATSP

$O(1)$

不能以大于的比率近似$75\over 74$

2.7。禁止未成年人图中的TSP

平面图中TSP的线性时间PTAS（Klein）。

不含次要图形的PTAS（Demaine，Hajiaghayi，Kawarabayashi）。

$22\frac{1}{2}$

$O(\frac{\log g}{\log\log g})$$g$

2.8。最大TSP

$7\over9$

$7\over8$

$3\over4$

$35\over44$

2.9。指数时间近似

$(1+\epsilon)$$2^{(1-\epsilon/2)n}$$\epsilon\le \frac{2}{5}$$4^{(1-\epsilon/2)n} n^{\log n}$$\epsilon \leq \frac{2}{3}$

如有任何补充和建议，我将不胜感激。

$O^*(1.932^n)$$O^*(2^n)$$n$$(1+\epsilon)$$O^*(2^{(1-\epsilon/2)n})$$\epsilon \le 2/5$

Nicolas Boria，Nicolas Bougeois，Bruno Escoffier，Vangelis Th。Paschos：一些图问题的指数近似方案。在线提供。

$\alpha$$\beta$$\alpha < \beta$$\gamma$$\alpha, \beta]$$\gamma$$\theta$$\gamma$$2^{n^{O(\theta)}}$$\gamma$（至少在恒定因子范围内）即使在给定次指数时间的情况下，也可以提高近似率。存在几个问题，其中已知的最佳硬度结果是通过SAT效率降低而得出的，也就是说，硬度结果处于较弱的假设下，例如准多项式时间内不包含NP。在这种情况下，亚指数时间可能会更好。我所知道的唯一一个是群斯坦纳树问题。最近一个著名的结果是Arora-Barak-Steurer关于独特游戏的次指数时间算法之一：我们得出的结论是，如果UGC为真，那么从SAT降为UGC一定要效率低下，即从SAT公式获得的UGC实例的大小必须随参数以某种方式增长。

加权有界属图的最佳tsp是 http://erikdemaine.org/papers/ContractionTSP_Combinatorica/。