与裁判员的沟通复杂性

假设一个通信复杂性的框架，我们有两个参与者A（lice）和B（ob）和一个R（eferee）。A和B不直接通信。在每一轮交流中，他们各自发送一条消息（$m_A$， $m_B$）到R。R计算两个函数 $f_A(m_A,m_B)$ 和 $f_B(m_A,m_B)$并将结果发送给他们。功能是固定的。这个想法是玩家之间的交流受到限制。而且，裁判员可能会对消息进行一些处理。

例：

A和B向R发送两个（任意大号）数字，R检查其中哪个更大并通知玩家。

在此框架中，我们可以设计一个简单的协议，该协议可以单轮轻松计算以下函数。A和B发送$x$ 和 $y$ 到R，R将答案返回给他们，然后他们输出答案。

显然，这不是一个有趣的情况，因为我们正在计算的功能与裁判功能相同。一个更有趣的情况是，当我们有一个固定的线性不等式时$\vec{a} \cdot \vec{x} \leq \vec{b} \cdot \vec{y}$ 并且变量的值在玩家之间分配（A $\vec{x}$ B有 $\vec{y}$）。任务是确定不平等是否正确。在这种情况下，协议是运动员计算自己的角色，然后将其发送给裁判。

题：

是否研究了这种通信的复杂性？如果是，我在哪里可以找到更多信息？

注意1：在第49页，库什列维兹（Kushilevitz）和尼桑（Nisan）提到了一个涉及裁判的框架，但该框架与我所要求的完全不同。

注2：我不确定致电R裁判是否正确，如果您有更好的建议，请发表评论。

我敢肯定您知道以下文章，但是我附上了这篇文章的链接，因为其他读者可能会感兴趣：游戏插值

本文尝试使用通信复杂性框架来显示切割平面的下限。该协议用于产生不满足CNF的插值电路：

播放器 $A$ 得到输入 $a$ 和 $y^a$，播放器 $B$ 得到 $b$ 和 $z^b$。如果在切割平面上有浅树状的证明，则这两个参与者具有通讯协议，使得

• 裁判员进行任何沟通，这有助于评估证据中的不平等性；
• 通信量很小（树很浅）；
• 两个玩家要么决定哪个 $A$ 要么 $B$ 被伪造
• 他们找到位置 $i$ 在其中 $a_i \not= b_i$。

裁判变成了不平等的概率协议。以此方式，可以将通信复杂性框架中的树状概率协议的下限变为树状切割平面证明的下限。

如果我们对PLS形式的通信协议有下界，那么对于类似dag的切割平面证明，我们将有下界。

注意，该技术不依赖于切割平面的实际推理规则。如果我们假设推理规则是（1）带底的正组合（2）整数除法，则可以使用PavelPudlák 参数构建单调插值电路。

只是几句话。首先，我不太清楚为什么我们根本需要裁判。如果球员的功能众所周知，那么为什么他们不能仅仅模拟裁判？爱丽丝发送$m_A$ 给鲍勃，他（没看见 $m_A$）计算 $m_B$，之后他计算 $f(m_A,m_B)$并将结果告诉爱丽丝。也许你认为$f_A$是不知道鲍勃和$f_B$ 给爱丽丝？

其次，与线性不等式有关的协议在切割平面证明的情况下确实很有趣。在这种情况下，它是足够的甚至考虑协议，其中所述形式的消息是非常有限的：输入变量的一些线性组合的只是值可以被传送。

为了更精确一点，假设给定一个具有整数系数的线性不等式系统。我们知道系统没有$0$--$1$解。变量以某种方式在玩家之间分配（五十五十种方式）；这是“最坏的分区”方案：对手可以选择“最坏的”分区。给定一个$0$--$1$字符串，玩家的目标是找到不满意的不平等。就是说，现在的答案不是一丁点，而是我们系统中一个不等式的名称。（这是Karchmer-Wigderson类型的交流游戏。）

现在考虑针对此类比赛使用以下受限协议：（i）裁判发挥作用 $f(\alpha,\beta)=1$ iff $\alpha \leq \beta$，（ii）玩家的信息仅限于线性信息：在每一轮中，爱丽丝必须以以下形式发送信息：$m_A(\vec{x})=\vec{c}\cdot \vec{x}$，而鲍勃则收到以下形式的消息 $m_B(\vec{y})=\vec{d}\cdot \vec{y}$。

Impagliazzo，Pitassi和Urquhart（1994）观察到以下情况：如果在切割平面证明中使用的所有系数都是变量数量的多项式，并且该游戏是否需要$t$ 沟通，那么每一个树状证明给定系统的不满足性必须产生 $\exp(t/\log n)$不平等。然后，他们使用已知的通信复杂性下限给出了一个明确的系统，该系统需要指数大小的证明。此结果的缺点是系统非常人为，因此不存在“真正的”优化问题。因此，为“实际”优化问题提出一个下限是一个有趣的问题。

这样的问题之一是图形的独立集问题。给定图 $G=(V,E)$ 我们可以与每个顶点关联 $u$ 一个变量 $x_u$ 并考虑由不平等构成的不平等体系 $\sum_{v\in V}x_v>\alpha(G)$，以及所有不平等 $x_u+x_v\leq 1$ 对于所有边缘 $uv$ 的 $G$。由于每个$0$--$1$ 这些不等式的子系统的解决方案在 $G$，整个系统没有零一解决方案。对于此类系统，游戏的通信复杂度是多少？

如果我们的图 $=(L\cup R,E)$ 如果是二分的，则很自然（对于对手）根据变量的组成部分来拆分变量。在这种情况下，爱丽丝得到了一个子集$A\subseteq L$，鲍勃一个子集 $B\subseteq R$ 承诺 $|A\cup B|>\alpha(G)$。目标是在 $A$ 和 $B$。这里$\alpha(G)$ 是“二分”独立数：一个不完全位于其中的独立集的最大大小 $L$ 或在 $R$。我最喜欢的问题之一是：证明$n\times n$ 图要求 $\omega(\log^2 n)$存在一点交流。

@Kaveh：很抱歉用问题“回答”您的问题。