稀疏输入上的计算功能的单调电路复杂性

重一个二进制串的是那些在字符串中的数量。如果我们有兴趣对输入很少的输入计算单调函数感兴趣，该怎么办？ $|x|$ $x\in\{0,1\}^n$

我们知道，对于单调电路，很难确定一个图是否具有 -clique（尤其是参见Alon Boppana，1987），但是，如果一个图最多具有边，则有可能找到大小为单调的有界深度电路，其决定 -clique。 $k$ $k^3$ $f(k)\cdot n^{O(1)}$ $k$

我的问题：即使重量小于输入，有没有单调电路难以计算的函数？这里硬装置的电路尺寸。 $k$ $n^{{k}^{\Omega(1)}}$

甚至更好：即使我们只关心权重和输入，是否存在一个很难计算的显式单调函数？ $k_1$ $k_2$

埃米尔耶扎贝克已经观察到，已知的下界保持为分开两个类的输入（单调电路 -cliques VS最大 -colorable图形）在概率参数一些独立的成本，从而有可能使之用于固定权重的两类输入。这将使是我要避免的的函数。 $a$ $(a-1)$ $k_2$ $n$

真正想要的是一个比小得多的和的显式硬函数（如在参数化复杂度框架中）。甚至更好，如果。 $k_1$ $k_2$ $n$ $k_1=k_2+1$

注意，对于的肯定答案将意味着任意电路的指数下限。 $k_1=k_2$

更新：这个问题可能是部分相关的。

— 马西莫·劳里亚
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2

$2$

n \times m

$n\times m$

G

$G$

m = o (n)

$m=o(n)$

u

$u$

x_{u}

$x_u$

f_{G} (x)

$f_G(x)$

x_{u} \land x_{v}

$x_u\land x_v$

u v

$uv$

G

$G$

s (G)

$s(G)$

f_{G}

$f_G$

\leq 2

$\leq 2$

s (G) \geq (2 + c) n

$s(G)\geq (2+c)n$

c > 0

$c>0$

≫ n / 2

$\gg n/2$

\exp (min {a, n / b}^{1 / 4})

$\exp(\min\{a,n/b\}^{1/4})$

b

$b$

a

$a$

a < b

$a<b$

k

$k$

n^{k}

$n^k$

k \geq 3

$k\geq 3$

(n - k)

$(n-k)$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$ 用于每一恒定。

k

$k$

— Stasys

我应该澄清一下，我关心稀疏图的意义上的稀疏输入。可以在FPT单调电路尺寸中查找非常稀疏的图（具有边）中的斜率。

k

$k$

k^{10}

$k^{10}$

— MassimoLauria 2011年

您在第一条评论中的示例非常好。如果我正确理解的话，这是单调函数的类似问题，这些函数在固定权重上很难。使用伪补码功能来模拟取反的输入，单调和非单调情况下的电路复杂度不会不同。对于恒定的（或较小的）可以通过单调电路有效地实现该伪补码。

k

$k$

k

$k$

— MassimoLauria 2011年

我的第一条评论依赖于图的复杂性。“ ”现象可以在该草案的第13页上找到。顺便说一句，我对“对k和k + 1很难”是什么意思呢？（当然是我的错。）

(2 + c) n

$(2+c)n$

— Stasys

Lokam 专门考虑了问题的一部分（例如，对于 = 1， = 2），在本文中研究了“ 2-slice”函数，并证明可以推广它们的强下界，因此这是一个非常困难的开放问题与基本复杂性类别分离有关，任何此类构造/显式功能都将是一项突破；从摘要： $k_1$ $k_2$

如果布尔函数f在小于两个1的输入上求值为零，而在大于两个1的输入上求值为1，则称为2切片函数。在具有正2的f的输入上，可能会被平凡地定义。2切片函数和图形之间存在自然的对应关系。使用图复杂度的框架，我们表明，对于非常特殊的2切片函数类，足够强的超线性单调下界将暗示从它们衍生的某些函数的完整基础上的超多项式下界。

图复杂度和切片函数/ Satyanarayana V. Lokam，理论计算。系统36，71–88（2003）

SJ在他的评论中也探讨了sec1.7.2图的恒星复杂度这一节，在他的书中也谈到了类似的情况。

布尔函数的复杂性：先进性和前沿性，Stasys Jukna

— z
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