图中的Voronoi图

令为具有（正）加权边的图。我想定义为一组的节点/位点的Voronoi图，要关联与节点子图的由所有节点诱导严格接近是以任何其他节点，测量路径的长度乘以弧上的权重之和。是的Voronoi地区。例如，下面的绿色节点位于 $G$ $S$ $v \in S$ $R(v)$ $G$ $v$ $S$ $R(v)$ $v$ $R(v_1)$ 和黄色节点在。我想了解Voronoi图的结构。首先，两个站点和的图是什么样的，即2站点平分线是什么样的（在上面的示例中为蓝色）？我认为平分线的为一体的补体中。这是两个具体问题： $R(v_2)$
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$v_1$ $v_2$ $B(v_1,v_2)$ $R(v_1) \cup R(v_2)$ $G$

Q1。两个站点的平分线在某种意义上是否连通？

Q2。是凸在某种意义上说，它包含在任意两个节点之间的最短路径？ $R(v)$ $R(v)$

当然这已经被研究过了。谁能提供参考/指针？谢谢！

Suresh评论的附录：
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— 约瑟夫·奥罗克
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为了使Q1有意义，您需要一些表情，对吗？否则，“真实”等分线位于边缘的中间，并且在此点之前和之后引入顶点，可确保等分线断开。也许如果您认为图表是弦乐的，那么您可以证明一些事情。至于Q2：即使对于具有孔（或地形）的多边形中的测地线，这也是错误的。我的猜测是，您需要在图表上假设一个相当强的东西，才能对这两个问题得到不平凡的答案。

— Sariel Har-Peled

谢谢Sariel，感谢您的观察。是的，似乎我希望太多了，也许只有在特殊的图类中才会有不错的结构特性。

— 约瑟夫·奥罗克

啊，所以在常规球体上，voronoi细胞不会比半球大，所以您就不会遇到这个问题。但是我的评论与Sariel的评论大致相同，因为您要在潜在的通用黎曼流形中要求voronoi细胞的凸性，这是不正确的。

— Suresh Venkat

S

$S$

S

$S$

K_{2, n}

$K_{2, n}$

所以现在我在想，也许这里有一个有趣的问题。如果基础指标是流形（如Suresh所建议），该怎么办。现在，当且仅当存在第三个点q时，我们才将两个点连接起来，例如，另外两个点是两个最近的邻居（将其视为某种见证复合体）。一个自然的推测是，如果流形加倍，那么总可以添加O（1）点，以使等分线连接起来。嗯...

— Sariel Har-Peled

Mehlhorn，K .：图形中Steiner问题的一种更快的近似算法。信息处理快报27，125–128（1988）

Erwig，M .：带有应用程序的图形Voronoi图。网络36（3），156–163（2000）

两个引用均从

Matthew T. Dickerson，Michael T. Goodrich，Thomas D. Dickerson，Ying Daisy Zhuo：地理网络中的往返Voronoi图和加倍密度。交易计算科学14：211-238（2011）

— 大卫·埃普斯坦
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这将需要进行一些挖掘，但是从表面上看，似乎在这些论文中并没有确定该图的许多结构特性（也许是因为注释的特性很少！）。

— 约瑟夫·奥洛克

确实似乎知之甚少。我们在sommer.jp/voronoi.htm中

— Christian Sommer，