我想要一个简单的小工具来证明平面哈密顿循环NP-完全（来自哈密顿循环）

众所周知，汉密尔顿周期（简称Ham）是NP完全的，而平面Ham周期是NP完全的。平面火腿周期的证明不是来自火腿周期。

在给定图形G的情况下，有没有一个好的小工具将所有交叉点替换为某个平面小工具，这样您就得到了一个平面图形G'，使得

G具有火腿周期，而G'具有火腿周期。

（我将对各种变体感到满意，例如火腿路径或定向火腿循环或定向火腿路径。）

— 比尔·加斯奇
source

有点琐碎的观察。假设您嵌入

并且边缘

和

交叉，其中

沿交叉点顺时针出现。通过小工具进行更换

有四个入口点

对应于

G

$G$

(x, y)

$(x,y)$

(u, v)

$(u,v)$

x, v, y, u

$x,v,y,u$

P_{x v y u}

$P_{xvyu}$

x^{'}, v^{'}, y^{'}, u^{'}

$x',v',y',u'$

。如果

的哈密顿循环同时使用两个边

和

则在

，相应的循环将必须自交叉。这当然假定一个什么样的``小工具”是也，在汉密尔顿的周期中最天真的解释

需要遵循相同的边缘在相应的周期

。

x, v, y, u

$x,v,y,u$

G

$G$

(x, y)

$(x,y)$

(u, v)

$(u,v)$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— 马雷克·罗巴克

什么是火腿周期？请不要以为所有人都理解您的缩写。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2012年

@MarekChrobak：我同意你的话。您提供了两种方法来逃避您的争论。我认为最自然的一个是第二个：如果存在一个哈密顿循环

那么在

有一个哈密顿循环

。

x \to y \to \dots \to u \to v \to \dots \to x

$x\to y\to\dotsb\to u\to v\to\dotsb\to x$

G

$G$

x \to x^{'} \to \dots \to u^{'} \to u \to \dots \to y \to y^{'} \to \dots \to v^{'} \to v \to \dots \to x

$x\to x'\to\dotsb \to u'\to u\to\dotsb\to y\to y'\to\dotsb\to v'\to v\to\dotsb\to x$

— 布鲁诺

@津吉：这意味着哈密顿循环。我认为假设每个人都可以弄清楚是合理的。

— domotorp 2012年

@Bill：我想知道为什么您认为这样的小工具应该存在。将任意图形嵌入到平面中时的相交数量可能非常大（完整图形的

-参见相交引理）。因此，如果您从具有

边和许多边（例如接近二次方）的图开始，则嵌入的带有交叉点作为顶点的图的结构完全不同...

Θ (n^{4})

$\Theta(n^4)$

n

$n$

— Sariel Har-Peled 2012年

不会。至少没有一个用于跨界的“漂亮”小工具。

令和为我们要替换的十字。 $(a, b)$ $(x,y)$ 在此处输入图片说明

我们的图有很多情况，但我们必须至少满足以下四个条件。情况1：至少存在一个哈密顿循环，但没有一个使用任何一个边。情况2：至少有一个循环，并且所有循环正好使用两个边沿之一。情况3：至少有一个循环，并且所有循环都使用两个边沿。情况4：没有哈密顿循环。 $G$

如果我们的小工具具有两个（或更多个）的每一个顶点邻近所有相同的邻居（使得和保留的邻居），那么不一定仍然是平面的。为了满足上述第一种情况，我们在小工具中不能再有任何新的顶点。 $a, b, x, y$ $a_0$ $a_1$ $a$ $G'$

为了满足上述情况3，我们必须在小工具中至少具有两个边缘。平面和覆盖对或都不满足情况2，因此我们需要第三条边。在不失一般性的前提下，将这三个定为。 $(a, x), (y, b)$ $(a, y), (x, b)$ $(a, y), (y, b), (x,b)$

但是，该替换打破了第四种情况，因为当不包含可能包含一个哈密顿循环。举个例子来说，其中和 $G'$ $G$ $G = (V, E)$ $V = \{a, b, x, y, p, q, r, s, t\},$ 。不是平面，也不具有哈密顿循环。 $E = \{(a, b), (x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (b, x), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G$ 在此处输入图片说明

$G' = (V, E')$ $E' = \{(a, y), (y, b), (x, b)\} \cup$ $\{(x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G'$ $a, q, x, t, p, s, b, y, r, a$

$(b, y)$ $(a, x)$ $G'$

$(a, b), (a, y), (x, b)$

由于添加三个边会破坏情况4，因此添加更多内容将无济于事。

$a, b, x$ $y$

（注意：如果我在上面出现任何错误，请告诉我！）

（~~注2：我有一些不错的数字，但不能发布。~~ 发布。）

— 凯尔
source

我认为您现在应该可以发布数字。

— Jukka Suomela 2012年