具有最低预期l2范数的凸体

考虑以原点为中心并且对称的凸体 $K$ （即，如果则）。我希望找到一个不同的凸体，使和以下度量最小化： $x\in K$ $-x\in K$ $L$ $K\subseteq L$

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$ ，其中是从L随机选择的一个点。 $x$

可以将常数因子近似地用于该度量。

一些注意事项-关于本身就是答案的第一个直观猜测是错误的。例如，认为是非常高尺寸的薄圆柱体。然后，通过让具有更多接近原点的体积，我们可以得出使得。 $K$ $K$ $L$ $f(L)<f(K)$ $L$

cg.comp-geom approximation convex-geometry

— 阿什温库马尔有限公司
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毫无价值的问题看起来很棘手。即使在3d中也不是很清楚如何解决它。

— Sariel Har-Peled

很明显如何最佳地在2d中进行处理？当然，在二维中，恒定因子近似是无意义的。

— Ashwinkumar BV 2012年

这对我来说并不明显。通过用椭球www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdf近似形状，常数因子近似在任何尺寸上都是显而易见的。该常数将取决于尺寸。

— Sariel Har-Peled 2012年

我对常量因子近似值感兴趣，其中常量不依赖于尺寸。

— Ashwinkumar BV 2012年

自然。但是，让我把它拿回来-甚至椭圆形的情况也不明显。如果您想解决这个问题，那将是第一个要研究的版本。直观地，您必须确定要忽略的尺寸以及要扩展的尺寸。似乎自然的解决方案是椭球与另一个椭球的并集的凸包，其中新椭球的轴等于某个参数r或等于另一个椭球。

— Sariel Har-Peled

Answers:

如果我们将和都限制为椭圆形，那么使用SDP可以以任何精度解决您的问题。我知道这不是您最初要求的，但是即使对于这种受限情况，我们似乎也没有解决方案，也许总的来说可以提供帮助。 $K$ $L$

所以我们可以说是输入椭球，我们期待找到一个最佳封闭椭球。存在一个线性地图 ST 和地图 ST ，其中是单位球。然后 $E$ $J$ $F$ $E = FB_2$ $G$ $J = GB_2$ $B_2$ 。此外，其中是极体的。便利地，和 $\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$ $E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$ $E^\circ$ $E$ $E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$ $J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$ 。它遵循（因此）当且仅当是半正定矩阵。 $J^\circ \subseteq E^\circ$ $E \subseteq J$ $G^TG - F^TF$

因此，SDP的定义如下：给定一个对称的PSD矩阵，找到一个对称的PSD矩阵 st 为PSD，并将最小化。可以通过求解SDP然后一个SVD会给轴和轴的长度来找到。 $M$ $N$ $N - M$ $\mathsf{Tr}(N)$ $N$ $J$

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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（如评论中所述，以下方法无效。获得的对象不是凸形的。尽管如此，它表征了具有最小预期距离的“星形”对象。）

我认为最佳对象是和以原点为中心的球的并集。这是我的想法。通过您的定义， $K$ $f(L)$ 其中是从原点到的表面的距离沿特定方向。我使用而不是=，因为我删除了一些常量。现在，我们希望尽量减少的约束下该沿任何方向。请注意，如果沿某个方向小于

f (L) \sim \int S d - 1 \int r L 0 x d ( x d / x d L ) d x r L v o l ( L ) d x d S \sim \int S d - 1 r 2 L v o l ( L ) d S \sim \int S d - 1 r 2 L d S \int S d - 1 r L d S = d e f g (L),

$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$

rL $r_L$

L $L$

∼ $\sim$

g(L) $g(L)$

rL≥rK $r_L \ge r_K$

rK $r_K$

，那么我们可以把它稍大，通过说增加它

，使

小。这是因为我们将枚举数增加了

，小于因子

g(K)/2 $g(K)/2$

ϵ≤g(K)/2−rK $\epsilon \le g(K)/2 -r_K$

g(K) $g(K)$

(rL+ϵ)2−r2L=ϵ(2rL+ϵ) $(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$

g(K) $g(K)$ 分母增加。因此，我们可以想到的逐渐“变形”

（通过反复小幅增长目标，并更新

），以使其

值。令

最终是凸物体。然后，在任何点

是在距离

从原点，即

被的联合

并与半径的球

K $K$

g(⋅) $g(\cdot)$

K∗ $K^*$

∂K∗∖∂K $\partial K^*\setminus \partial K$

g(K∗)/2 $g(K^*)/2$

K∗ $K^*$

K $K$

。g(K∗)/2 $g(K^*)/2$

确实，考虑另一个凸物体，使得。然后，否则我们成长的一部分内使更小。在另一方面，，否则，由同样的想法，我们可以收缩的部分外 $K'$ $g(K') = g(K)$ $K^*\subseteq K'$ $K'$ $K^*$ $g(K')$ $K'\subseteq K^*$ $K'\setminus K$ $K^*$ 使变小。因此，有一个独特的最佳解决方案。 $g(K')$

— 用户7852
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也许我缺少了一些东西，但是为什么以这种方式生成的对象是凸形的？

— mjqxxxx 2012年

@mjqxxxx你是对的。我怎么想念...

— user7852 2012年

有关以下想法如何：它是公知的是凸目的可以通过一些椭圆来近似，即，有一个椭圆

使得

EK $E_K$

。然后

EK⊆K⊆d−−√EK $E_K\subseteq K\subseteq \sqrt{d}E_K$

以大约

比率近似

。对于任何包含

，

f(d−−√EK) $f(\sqrt{d} E_K)$

f(K) $f(K)$

d $d$

L $L$

K $K$

。因此，如果我们可以找到包含

的最优椭球

d−−√EK⊆dEL $\sqrt{d}E_K \subseteq d E_L$

E $E$

，然后

。我不知道如何计算

。但是我猜想它的轴与

轴对齐d−−√EK $\sqrt{d} E_K$

f(E)≤d2f(L) $f(E) \le d^2 f(L)$

E $E$

和

所有特征值d−−√EK $\sqrt{d} E_K$

低于某个阈值的

上升到该阈值。d−−√EK $\sqrt{d} E_K$

— user7852 2012年

我同意，如果L不限于凸体，则是K与球的并集。

— Ashwinkumar BV 2012年

使用椭球的想法不会给您一个恒定的因素。它最多可以给

近似值。我的猜测是，带有适当半径的球的

凸包是一个常数因子近似值。我不确定如何证明或反驳这一猜想。d−−√ $\sqrt{d}$

L $L$

— Ashwinkumar BV 2012年

以下解决方案基于此假设/猜想[待证明]：

猜想：上凸函数的期望值大于在期望之间的较大的较小并且在期望。 $\textrm{conv}(K\bigcup K')$ $K$ $K'$

[仅对于凸，我们将需要上述条件，但通常可能是正确的] $K,K'$

现在取任意集合并以原点为中心对其进行旋转，得到。您将拥有，因为旋转使的元素长度不变。如果我是正确的关于猜想，。因为对于任何最优 $K$ $R$ $R(K)$ $f(K)=f(R(K))$ $K$ $f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$ $L$ 你可以考虑，其中表示在所有旋转的结合，并有，似乎可以将最佳选择为包含的最小球体。 $L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$ $\bigcup_R$ $f(L)\geq f(L') \geq f(L)$ $L$ $K$

— 马可
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It would be sufficient to prove that

Econv(A)≤EA $\mathbb{E}_{\textrm{conv}(A)}\leq \mathbb{E}_{A}$ for the expectation of a convex function. That

EK⋃K′≤max{EK,E′K} $\mathbb{E}_{K\bigcup K'}\leq \max\{\mathbb{E}_K,\mathbb{E}_K'\}$ seems easy.

— Marco

我不确定是否能得到您的答复。但是，绝对不能将L选择为包含K的最小球体。考虑

尺寸为

细长圆柱体。然后任何球

含有

应具有

。但是，如果你构造

其中U是球形或大致半径

你

大致 $d$

$t$

$S$

$K$

$f(S)\geq t$

$L=conv(K\cup U)$

$c_1 t/d$

$f(L)$

$c_2 t/d$ . (where

$c_1,c_2$ are constants)

— Ashwinkumar B V