广义范德蒙矩阵的行列式

Moore矩阵类似于Vandermonde矩阵，但定义稍有修改。 http://en.wikipedia.org/wiki/Moore_matrix

计算给定的全秩Moore矩阵以某个整数为模的行列式的复杂度是多少？ $n \times n$

罐摩尔行列式从被降低使用FFT技术来一段？ $O(n^{3})$ $O(n\log^{a}n)$ $a \in \mathbb{R}_{+} \cup \{0\}$

Moore det取模整数的复杂度和Vandermonde det一样吗？Vandermonde行列式的复杂度为（《理论计算机科学手册》第644页：算法和复杂性，作者Jan Leeuwen） $O(n\log^{2}n)$

发布与当前类似的帖子：行列式模m

cc.complexity-theory algebraic-complexity

— T ...
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Moore行列式是否可以在O（n ^ 3）时间内（在整数RAM上）进行计算？

— 杰夫斯

@Jɛﬀ E这就是为什么我提到模随机。

N \in N

$N \in \mathbb{N}$

— T..

顺便说一句，我很好奇，是否有已知的应用程序会受益于这种“超快速”算法？

— Juan Bermejo Vega 2012年

@J ffE，您是否偶然知道对于平凡的在BPP中计算基于的双模幂运算是否在BPP中？因为这是计算矩阵系数的问题。

ε

$\varepsilon$

N

$N$

N

$N$

— Juan Bermejo Vega

Answers:

通常，存在一种理论上的时间算法，该算法使用Coppersmith-Winograd算法查找任意矩阵的LU分解，然后显然得出行列式（加上时间）。但是，存在一个问题，即在实践中认为Coppersmith-Winograd算法不可用。Afaik，人们大多使用时间Strassen算法。Boost UBLAS的lu_factorize不会使用这个吗？ $O(n^{2.376})$ $O(n)$ $O(n^{2.807})$

在您的情况下，Moore矩阵应该接受可观的优化，因为基本上任何抽象的高斯消减（如LU分解）过程都可以抽象完成。确实，您会找到一个很好的公式来计算Wikipedia引用的Moore行列式，大概可以通过简单地算出LU分解来证明这一点。 $O(n)$

— 杰夫·伯吉斯
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嗨，杰夫：您正在参考O（n ^ 2）公式的哪个参考。我认为Vandermonde det可以用O（nlogn）计算，但是我找不到参考。那么Moore det也应该在O（nlogn）中吗？

— T ..

是的，我显然应该说O（n），对于大n来说真的是O（n log n）。

— 杰夫·伯吉斯

嗨，杰夫：您有参考吗？

— T ..

@JeffBurdges：如果运行时间为“对于大n”为O（n log n），则根据定义，运行时间为O（n log n），而不是O（n）。

— 杰夫斯

我没有看到Wikipedia引用的

公式。充其量看起来是

。

O (n)

$O(n)$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— 彼得·泰勒

重要的是，在您提供的定义中，矩阵存在于有限域中，例如，其中为质数。这使您可以使用欧拉定理来计算在时间中出现在矩阵中的双指数。否则，即使不分解也很难计算矩阵系数。 $\mathbb{Z}_m$ $m$ $a^{q^e}\mod m$ $O(\log (mn) \; M(\log m))$

a^{q^{i}} \equiv a^{q^{i} (\mod φ (m))} (\mod m)

$a^{q^i}\equiv a^{q^i\pmod{\varphi(m)}}\pmod m$

m

$m$

如果为质数或可以有效分解，则最坏情况的复杂度由矩阵乘法所需的步数决定。例如，如果您使用“慢速”，我在合作伙伴帖子中提到的史密斯范式方法将计算时间乘法算法。可以选择为2.373。 $m$ $O(n^\omega)$ $O\left( n^\omega \; \log^2m\; \log (mn) \right)$ $^*$ $\omega$

由于必须对矩阵的系数进行两次幂运算，因此Moore vs Vandermonde 的速度变慢。当您可以分解这种减慢就是对数。如果不是这样，所给出的算法可以使您对幂进行Cook归约。 $m$ $m$ $\mathbb{Z}_m$

注意*：更快的整数乘法算法允许您用替换。 $\log^2 m$ $M(\log m \log\log m)$

更新：关于实现的可能性。 $O(n\log^a n)$

我对此没有确切的答案，但是我发现了一些可能会加紧搜索范围的信息。

在文献中将用于计算诸如时间行列式类的数量的结构化矩阵的算法称为“超快”。结构矩阵（Vandermonde，Toeplitz，Hankel）的所有已知“超快速”算法似乎都依赖于该矩阵的共同特性，即低“位移等级”。在本书的第一章（开放访问页面）或本文[ACM]和[PDF]中进行讨论。 $O(n\log^a n)$

根据我的阅读，给定摩尔矩阵，如果您能够找到矩阵，，使得新矩阵（或者）具有以下结构 $m\times n$ $M$ $A$ $B$ $L(M)=AM-MB$ $L(M)=M- AMB$

L (M) = \sum_{k = 1}^{r} g_{k} h_{k}^{T}

$L(M) = \sum_{k=1}^r g_k h_k^T$

，并且等级很小（可以是常数，也可以由），则可以应用现有技术（请参阅本书第5章，访问页面）到三角形，并因此使用计算。上面的，表示向量。如果您找不到上面的书来阅读整本书，则本文还将提供有关这些方法的大量信息。 $r>0$ $o(\text{min} \;\{m,n\})$ $M$ $\det{M}$ $O(n\log^2 n)$ $g_k$ $h_k$

不幸的是，我无法找到摩尔矩阵的低排位结构（范德蒙德拥有）。这里的主要复杂之处似乎来自于双指数的“非线性”性质。如果有帮助，本书中还会列出范德蒙德，柯西，托普利茨，汉克尔的案例。

— 胡安·贝梅霍·维加
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我可以将矩阵放在char的字段中。但是，我预期的应用程序的字母大小会很大。因此，对于足够大的的形式为。

3

$3$

m

$m$

3^{k}

$3^{k}$

k

$k$

— T ..

很好，因为您可以计算的上位函数：）

3^{k}

$3^k$

— Juan Bermejo Vega 2012年

我想说的是，这不会简化复杂性，因为该领域非常大。

— T ..

它确实简化了我提到的双幂运算问题。由于，您可以使用欧拉定理对进行两次幂运算：首先，计算，然后。您可以在时间。使用学校乘法算法，您将最终获得“ netto”成本这是有效的。

φ (3^{k}) = 3^{k} - 3^{k - 1}

$\varphi(3^k)=3^k-3^{k-1}$

a^{q^{i}} \mod m

$a^{q^i}\mod m$

b = q^{i} \mod φ (3^{k})

$b=q^i\mod \varphi(3^k)$

a^{b} \mod 3^{k}

$a^b\mod 3^k$

O (\log (n 3^{k}) M (k \log 3))

$O(\log(n3^k)M(k \log3))$

M (n) = n^{2}

$M(n)=n^2$

O (n^{ω} k^{2} l o g^{2} 3 (\log n + k \log 3))

$O(n^\omega k^2 log^2 3 (\log n + k\log 3))$

— Juan Bermejo Vega 2012年

我们可以用代替吗？这就是我所想的节省成本的方法（从矩阵结构中可以实现）。使用，我不会获得任何目的。

ω

$\omega$

1 + ϵ

$1 + \epsilon$

ω \geq 2

$\omega \ge 2$

— T ....