设置优化问题-它是否完整？

给出集合 $S=\{e_1,\cdots,e_n\}$ 。对于每个元素 $e_i$ ，权重 $w_i>0$ ，成本 $c_i>0$ 。目标是找到子集 $M$ 尺寸的 $k$ 最大化以下目标函数：

\sum_{e_{i} \in M} w_{i} + \frac{\sum_{e_{i} \notin M} w_{i} c_{i}}{\sum_{e_{i} \notin M} c_{i}}

$\sum_{e_i\in M} w_i + \frac{\sum_{e_i\notin M} w_i c_i}{\sum_{e_i\notin M} c_i}$ 。

问题是NP难吗？

由于目标函数看起来很奇怪，因此有助于解释目标函数的应用。

假设我们有n项 $e_1$ 至 $e_n$ 并且清单中每个对象都有 $c_i$ 副本。我们有一些客户，他们对这些物体的重量感兴趣，这意味着更大的物体更受欢迎。我们有一个在线销售系统，我们需要正确回答客户的要求。我们无法通过物体的形状识别物体（它们看起来都一样！）。但是我们有一些分类器可以找到它们。每个分类器可用于检测对象的副本。我们旨在运行k分类器，以最大程度地提高客户的满意度。 $e_i$ $w_i$ $w_i$

PS：这可能是考虑的情况下有用的对于所有 ; 但是，我不确定。[ 我错了！根据这个假设在P中 ] $w_i c_i=p$ $i\leq n$

np-hardness optimization

— 纳苏
source

正确的术语小于或等于不在M中的元素的最大权重。因此，如果元素的权重较大，最好将其放在M中，而不是浪费掉。因此，M应该由权重为k的元素组成。对？

— zotachidil 2012年

这是不正确的，因为成本也很重要。考虑以下示例：

— Nasooh 2012年

w1 = 50，c1 = 80-w2 = 40，c2 = 15-w3 = 10，c3 = 5。对于等于1的k，选择e2比e1更有利。

— Nasooh 2012年

你是对的。嗯...

— zotachidil 2012年

感谢您尝试解释动机。不幸的是，我对您的解释和目标函数之间的联系仍然不清楚，但是我想我必须对当前的解释感到满意，以使问题保持在合理的范围内。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2012年

Answers:

下面的答案表明，该问题的一种特殊情况可以在多项式时间内解决。这并不能完全回答帖子中的问题，但是可以对NP硬度证明可能需要的内容提供一些见解，并可能引起对该帖子的更多兴趣...

观察。 帖子中的问题有一个算法，在给定每个是整数的情况下，该算法在和时间多项式中运行。 $c_i$ $n$ $D = \sum_i c_i$

证明草图。 修复任何输入其中和（WLOG）。稍微改写这个问题，我们的目标是要找到尺寸的最大化 $(S, w, c, K)$ $w,c\in\mathbb{R}_+^n$ $S=\{1,2,\ldots,n\}$ $M\subseteq S$ $K$ 。 $\frac{\sum_{i\in M} w_i c_i}{\sum_{i\in M} c_i} - \sum_{i\in M} w_i$

考虑下面的动态程序。对于任何整数与，，和，定义 $(d_1, d_2, k, m)$ $0\le d_1 \le d_2 \le D$ $0\le k \le K$ $k\le m\le n$ 所需的解是。

ϕ （ d_{1个} ， d_{2} ， ķ ， 米 ） = 最大值 {\sum_{一世 \in 中号} w_{一世} （ C_{一世} / d_{1个} - 1个 ） ： 中号 \subseteq [米] ， | 中号 | = ķ ， \sum_{一世 \in 中号} C_{一世} = d_{2}} 。

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max \Big\{ \sum_{i\in M} w_i (c_i / d_1 - 1) ~:~ M \subseteq [m],\, |M| = k, \, \sum_{i\in M} c_i = d_2\Big\}.$

max_{d} ϕ (d, d, K, n)

$\max_d \phi(d, d, K, n)$

将的可能解划分为包含和不包含，我们得到递归 $\phi(d_1, d_2, k, m)$ $m$ 我们将边界案例作为练习。

ϕ （ d_{1个} ， d_{2} ， ķ ， 米 ） = 最大值 {\begin{cases} ϕ （ d_{1个} ， d_{2} - C_{米} ， ķ - 1个 ， 米 - 1个 ） + w_{米} （ C_{米} / d_{1个} - 1个 ） \\ ϕ （ d_{1个} ， d_{2} ， ķ ， 米 - 1个 ） 。 \end{cases}

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max\begin{cases} \phi(d_1, d_2 - c_m, k-1,m-1) + w_m(c_m/d_1-1) \\ \phi(d_1, d_2, k, m-1). \end{cases}$

子问题的数量为，并且每个递归的右侧都可以在恒定的时间内求值，因此该算法在和以时间多项式运行。 $O(n^2 D^2)$ $n$ $D$ $~~\Box$

结果。 除非P = NP，否则显示NP硬度的任何减小都将减小为不是多项式的情况。 $D$ $n$

备注。除非我错了，有也是在后的问题PTAS，根据四舍五入的的，然后使用动态规划。但是，正如帖子中所问的那样，PTAS的存在与问题是否是NP难题没有直接关系。 $w_i$

$w_i=c_i$ $i$ $M$ $k$

— 尼尔·杨（Neal Young）
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w_{i} = c_{i}

$w_i=c_i$

(\sum_{i \neq j \notin M} w_{i} w_{j}) / (\sum_{i \notin M} w_{i})

$(\sum_{i\neq j\notin M}w_iw_j)/(\sum_{i\notin M} w_i)$

M

$M$

w_{i}

$w_i$

@WillardZhan，是的，这似乎是正确的。

— Neal Young

-6

您在询问无限制的功能最大化吗？

真的很简单。如果M是最大集合，则它是最佳解决方案。无需计算任何东西。

这个问题似乎类似于背包问题，顺便说一下，这是NP。

— 吉列尔莫。
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问题是“大小为k的子集M”。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）