我们知道有最佳算法的哪些问题？

在哪些非平凡问题上，我们知道当前拥有的算法是渐近最优的？（用于图灵机）

以及如何证明呢？

任何需要线性时间并且必须读取其全部输入的算法都必须是渐近最优的。类似地，正如拉斐尔（Raphael）所说，任何运行时间与输出大小相同的算法都是最佳的。

如果您正在考虑的复杂性度量是查询复杂性，即机器必须查看输入以解决特定问题的次数，那么对于许多问题，我们都有最佳算法。其原因是，由于包括对手方法在内的一些流行技术，查询复杂度的下限比时间或空间复杂度的下限更容易实现。

但是，不利的一面是，这种复杂性度量几乎可以用于量子信息处理中，因为它提供了一种证明量子与经典计算能力之间差距的简便方法。这个框架中最臭名昭著的量子算法是格罗弗算法。给定一个二进制字符串对于该字符串存在一个i使得x i = n，则需要找到i。传统上（没有量子计算机），最简单的算法是最佳的：您需要平均查询此字符串n / 2次才能找到$x_1,\dots ,x_n$$i$$x_i=n$$i$$n/2$。Grover提供了一种在 O （$i$查询字符串。这也被证明是最佳的。$O(\sqrt n)$

• 如果您愿意更改模型，则数据结构中的许多下限都很严格。有关数据结构下限的良好引用的指针，请参见数据结构的下限。
• 根据一些人在这里提到的比较模型中的边界，通过考虑输入由沿图的点组成的情况，可以得到凸包问题的类似边界。在平面的第一象限中具有递增的功能。$\Omega(n log n)$

1. 使用比较（合并排序，举一个例子）进行比较排序是最佳的，证明涉及到简单地用n计算树的高度！树叶。$O (n \log n)$$n!$

2. 假设唯一游戏猜想，Khot，Kindler，Mossel和O'donnell表明，Max-Cut比Goemans和Williamson的算法更好地近似于NP。因此，从这个意义上讲，G＆W是最佳的（还假定）。$P\neq NP$

3. 在某些情况下（例如，对抗性处理器的比例），某些分布式算法可能是最佳的，但是由于您提到了图灵机，所以我想这不是您要查找的示例类型。

假设你在给定的输入并询问是否RAM机决定中号终止输入X后牛逼的步骤。由时间谱系理论，最优的算法来决定，这是模拟的执行中号（X ）为吨步骤，它可以在短时间内完成ø （吨）。$w = \langle M, x, t \rangle$$M$$x$$t$$M(x)$$t$$O(t)$

（注意：对于图灵机，模拟的执行需要O （t log t ）步；我们仅知道Ω （t ）的下限。因此，这并不是专门针对图灵机的最佳选择。$M$$O(t \log t)$$\Omega(t)$

还有一些其他问题，其中包括暂停问题的版本。例如，在决定一个句子是否是WS1S的结果需要时间2 好↑ 好↑ ø （| θ |），这是最佳的。$\theta$$2 \uparrow \uparrow O(|\theta|)$

我不确定您所说的“非平凡”是什么意思，但是这又如何呢？。因此，该语言不是常规语言，任何决定它的TM都必须以Ω （n log n ）运行。最简单的算法（每隔零个交叉）是最佳的。$L = \{0^{2^k} | k \geq 0\}$$\Omega(n \log n)$

如果允许动态数据结构问题，我们知道一些超线性时间最佳算法。这是在单元探针模型中，其强度与单词RAM一样强，即，它不是诸如代数决策树之类的受限模型。

一个示例是在动态更新下保留前缀和。我们从数字的数组开始，目标是保留一个允许以下操作的数据结构：$A[1], \ldots, A[n]$

• 给定i和Δ，将加到A [ i $\Delta$$A[i]$$i$$\Delta$
• 给定i，计算前缀和$\sum_{j = 1}^i{A[i]}$$i$

您可以使用基于扩展二叉树且叶子处带有A [ i ]的数据结构，轻松地在时间内支持这两种操作。Patrascu和Demaine证明这是最佳选择：对于任何数据结构，都有n个加法和前缀和查询的序列，这些查询的总时间为Ω （n log n ）。$O(\log n)$$A[i]$$n$$\Omega(n\log n)$

另一个示例是并集查找：从的分区开始为单例，并保留允许两个操作的数据结构：$\{1, \ldots n\}$

• 联盟：给和Ĵ，替换包含部分我和包含部分Ĵ与他们的工会$i$$j$$i$$j$
• 查找：给定，从包含i的部分输出规范元素$i$$i$

Tarjan表明，具有等级和路径压缩启发式并集的经典不相交集森林数据结构每次操作花费时间，其中α是逆阿克曼函数。弗里德曼和Saks表明这是最佳的：对于任何数据结构存在的序列Ñ工会，并找到它必须采取行动Ω （Ñ α （Ñ ））的时间。$O(\alpha(n))$$\alpha$$n$$\Omega(n\alpha(n))$

许多流算法的上限与下限匹配。

根据输入排序/分配的特定约束，有两种[我的理解是]最佳的搜索算法。然而，算法的介绍通常并不强调这种最优性。

• 黄金分割搜索以查找单峰函数的最大值或最小值（极值）。假设输入是单峰函数。平均找到对数时间。我记得在abelson＆sussman撰写的《计算机程序的结构与解释》一书中可能已经证明了最优性。

• 二分查找法在排序列表中平均找到对数时间点，但需要对输入进行排序。

^{我在上面引用了Wikipedia，但是它没有证明它们是最优的，也许其他一些可以证明最优性的参考资料也可以被读者找到。}

许多亚线性时间算法的上限与下限匹配。