三值逻辑的功能完备性

在最近的一些工作中，我们一直在基于三值逻辑àla Kleene定义一种语言，其中 $1$ 代表真实， $0$ 为假，和 $\bot$ 错误或不知道。为了表明我们的语言具有表达力，我们想证明我们可以构建一组功能上完整的运算符。

在文献中很难找到现有的结果。我们发现Jobe于1962年撰写的一篇论文指出了以下定理：

Jobe 1962年定理 论文（受限访问）。

三值逻辑 $E$ 在集合上表达 $\{1, 2, 3\}$ 并由运营商定义 $\bullet, E_1$ 和 $E_2$ 下面给出的功能已完成。

$\begin{array}{cccccc} ∙ & 3 & 2 & 1个 & Ë_{1个} & Ë_{2} \\ 3 & 3 & 2 & 1个 & 3 & 1个 \\ 2 & 2 & 2 & 1个 & 1个 & 2 \\ 1个 & 1个 & 1个 & 1个 & 2 & 3 \end{array}$ $\begin{array}{c|ccc|c|c} ~\bullet~ & ~3~ & ~2~ & ~1~ & ~E_1~ & ~E_2~ \\ \hline 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$

在我们的论文中，我们通过显示运算符与Jobe定义的运算符之间的对应关系来使用此结果（大致而言，我们使用强合词，求反和运算符将“不知道”转换为假）。

我主要担心的是，我实际上无法理解Jobe的功能完整性证明，并且在此日期之后我们还没有找到其他任何结果（正数或负数），这在某种程度上令人惊讶。

所以我的问题是：关于三值逻辑的功能完备性，是否还有一些已知的结果？这个方向的任何信息都会有所帮助。

reference-request lo.logic

— 查尔斯
source

的

3

$3$ -element字段在功能上完整。的

3

$3$ -element Post代数在功能上是完整的。

— 埃米尔·耶拉贝克（EmilJeřábek），2012年

@EmilJeřábek谢谢，我刚刚阅读了有关三元逻辑的文章，这似乎是对的（尽管我在这个话题上也找不到很多）。您对三元素字段有一些参考吗？Google有点模糊。

— 查尔斯

我不能立即提供参考，但这是一个简单的事实：标准（多元）插值意味着对有限域的任何运算都可以用多项式表示。此外，如果该字段是质数（例如此处），则多项式的系数可以用常数项定义（

1 + 1 + \dots + 1

$1+1+\cdots+1$ ）。因此，语言中的素数字段

{+, \cdot, 1}

$\{+,\cdot,1\}$ 功能齐全。

— 埃米尔·杰拉贝克（EmilJeřábek）2012年

《有限集上的函数代数》，Dietlinde Lau，2006年，该书的第5章和第6章包含对多值逻辑（包括证明）中功能完备性的深入研究。总结：Rosenbergs [1965，1970]最大克隆（也称为预完全克隆）的特征为任何k的k值逻辑提供了功能完备性的标准。

对于三值逻辑的特殊情况，Jablonskij早在1954年就已经给出了这种表征（由18个最大/预完成类组成）。因此，为了验证您的三值“运算符”在功能上是否完整，足以检查他们是否不属于18个预修课程中的任何一个。

— 古斯塔夫·诺德（Gustav Nordh）
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