捕获常规语言类的FO的最小扩展是什么？

上下文：逻辑与自动机之间的关系

布奇定理指出，字符串的Monadic二阶逻辑（MSO）捕获了常规语言的类别。证明实际上表明，存在MSO（或EMSO）在字符串是足以捕捉正规语言。这可能是一个有点出人意料，因为在一般的结构，MSO严格大于更有表现力。 $\exists\text{MSO}$ $\exists\text{MSO}$

我的（原始）问题：常规语言的基本逻辑？

是否有一个逻辑，在一般结构，严格少表现比，但仍然抓住当在字符串视为该类正规语言的？ $\exists\text{MSO}$

特别是，我想知道当使用最小不固定点运算符（FO + LFP）进行扩展时，FO通过字符串捕获了哪些常规语言的片段。它看起来像什么，我正在寻找一个自然的候选（如果不是）。 $\exists\text{MSO}$

第一个答案

根据@ makoto-kanazawa的回答，FO（LFP）和FO（TC）都捕获了比常规语言更多的内容，其中TC是传递关闭二进制关系的运算符。TC是否可以由另一种运算符或一组运算符替换，使得扩展名能够准确捕获常规语言的类别，而不能捕获其他任何种类的语言，还有待观察。

众所周知，仅一阶逻辑是不够的，因为它捕获了无星星的语言，这是常规语言的适当子类。作为经典示例，奇偶校验语言不能用FO语句表示。 $\;\;=(aa)^*$

更新的问题

这是我的问题的新措词，至今仍未得到答复。

一阶逻辑的最小扩展是什么，以便FO +此扩展在接管字符串时能准确捕获常规语言的类？

在此，如果扩展在所有捕获常规语言类的扩展中（在接管字符串时）表现力最小（在接管通用结构时），则它是最小的。

— 亚诺玛
source

如果我没记错的话，

微积分的确等同于字符串上的MSO。

μ

$\mu$

— 西尔万

@Sylvain，有参考吗？我对

微积分一无所知。

μ

$\mu$

— Janoma'1

似乎已在dx.doi.org/10.1109/LICS.1988.5137中证明了无穷树，并在dx.doi.org/10.1007/3-540-61604-7_60中证明了与MSO的双模拟不变片段相等在任意结构上。

— 西尔万

我正在看第二篇论文，尽管我担心很多概念对我来说都是新的。特别是，我对双仿真不变的转换系统一无所知。DFA似乎是过渡系统的特例，但我不知道它们是否是双仿真不变的。如果是的话，那将回答我的部分问题（对于常规语言，可能还有另一种表达较少的逻辑）；如果没有，我认为无话可说，因为仅考虑字符串时仍可能存在等效性。

— Janoma 2012年

如果两个有限字是同构的，则它们是双相似的，被视为过渡系统。（在第二纸张，一个字的符号

在

与

可被看作是一个转变系统

a_{1} \dots a_{n}

$a_1\cdots a_n$

Σ^{*}

$\Sigma^\ast$

Σ = 2^{P r o p}

$\Sigma=2^{\mathit{Prop}}$

）。

⟨ {1, \dots, n}, 1, {(i, i + 1) ∣ i < n}, {i ∣ p \in a_{i}}_{p \in P r o p} ⟩

$\langle\{1,\dots,n\},1,\{(i,i+1)\mid i<n\},\{i\mid p\in a_i\}_{p\in\mathit{Prop}}\rangle$

— 西尔

Answers:

FO（LFP）在有序结构上捕获PTIME，而字符串是有序结构。因此，由FO（LFP）定义的语言包括所有常规语言以及更多其他语言。 http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(86)80029-8

Ebbinghaus和Flum的教科书包含一个练习，要求证明FO（TC ^ 1）（用二进制关系的可传递闭包扩展的一阶逻辑）等效于字符串上的MSO。在同样的运动，被用作一个例子，说明FO（TC ^ 2）比MSO更有表现上的字符串。所有FO（TC）公式都明显等同于FO（LFP）公式。 $\{ a^n b^n \mid n \geq 1 \}$

— 金泽诚
source

优秀。我不知道您所说的TC ^ 1和TC ^ 2是错字吗？据我所知，您在书中提到的用FO（TC）表示具有传递闭包的FO扩展，而FO（DTC）表示使用确定性传递闭包的FO扩展，其定义不同。不过，我没有找到您提到的练习。仍有待观察是否存在比TC更具表现力的运算符，它仍然可以捕获常规语言。我将相应地更新我的问题。

— Janoma'1

这个答案有点晚了，但是众所周知，通过为每个有限组（或等效地为每个有限简单组）加入广义的组量词，可以获取所有且只有常规语言。例如，请参见Zoltan Esiky和Kim G. Larsen撰写的“ Lindstrom量词可定义的常规语言”，网址为http://www.brics.dk/RS/03/28/BRICS-RS-03-28.pdf。

而且，这是最佳的，因为只有每个语言的句法半形词组的量词都可用时，常规语言才是可定义的。

— 本·斯坦德文
source

$^r$ $^r$ $2r$ $r$ 元组。

我发现了更多您可能感兴趣的参考资料。

$^1$ 。事实证明，在有限树上，FO（MTC）的表达严格不如MSO。

$^1$

— 金泽诚
source