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检测两种几乎简单的多边形
我感兴趣的决定给定的非简单的多边形是否是复杂性几乎简单，在任何两个不同的正式感官：弱简单或者非自交。由于这些术语尚未广为人知，因此让我从一些定义开始。 甲多边形 是线段的闭合循环连接一些有限序列在平面上的点的。点称为多边形的顶点，线段称为多边形的边。我们可以通过仅按顺序列出其顶点来指定任何多边形。PPPp0,p1,p2,…,pn−1p0,p1,p2,…,pn−1p_0, p_1, p_2, \dots, p_{n-1}pipip_ipipi+1modnpipi+1modnp_i p_{i+1\bmod n} 如果所有n个顶点都不同并且边仅在其端点处相交，则多边形很简单。等效地，如果多边形对圆是同胚的，并且每个边的长度都为正，则该多边形是简单的。但是，通常，多边形的顶点和边缘可以任意相交，甚至重合。1个nnn 考虑两条多边形路径AAA和BBB，它们的交点是两者的共同子路径（可能是一个点）。我们说，如果AAA和B的端点A（0），B（0），A（1），B（1）在公共子路径A \ cap B的邻域边界上交替，则A BBB 交叉。如果多边形具有两个交叉子路径，则该多边形是自交叉的，否则具有 非自交叉的。2A(0),B(0),A(1),B(1)A(0),B(0),A(1),B(1)A(0), B(0), A(1), B(1)A∩BA∩BA\cap B 如果多边形是一连串简单多边形的极限，则多边形是弱简单的；或者等效地，如果顶点的任意小扰动使多边形简单，则多边形是弱简单的。每个弱简单多边形都是非自相交的。但是，一些非自相交的多边形并不是那么简单。 例如，考虑以下所示的六个点a,b,p,q,x,ya,b,p,q,x,ya,b,p,q,x,y。 多边形abpqyzabpqyzabpqyz很简单；见左图。 多边形papbpqyqzqpapbpqyqzqpapbpqyqzq很弱；中间的图显示了附近的简单多边形。但是，此多边形并不简单，因为它访问了ppp三次。 多边形是自交的，因为子路径和交叉。见右图以获得一些直觉。b p q z y q p apapbpqzqyqpapbpqzqyqpapbpqzqyqbpqzbpqzbpqzyqpayqpayqpa 最后，多边形（绕中间多边形缠绕两次）是非自交叉的，但并不是那么简单。直观地，此多边形的转弯数为，而任何简单多边形的转弯数必须为。（形式上的证明需要进行一些案例分析，部分原因是实际上对于角为多边形，转数实际上没有很好地定义！）± 2 ± 1 0 ∘papbpqyqzqpapbpqyqzqpapbpqyqzqpapbpqyqzqpapbpqyqzqpapbpqyqzq±2±2\pm 2±1±1\pm 10∘0∘0^\circ 更新（9月13日）：在下图中，多边形是非自交叉的，并且具有转弯数字1，但是并不是那么简单。多边形可以说有几个交叉的非简单子路径，但没有交叉的简单子路径。（我之所以说“可以说”，是因为目前尚不清楚如何定义两个非简单步行的时间！）abcabcxyzxpqrxzyxabcabcxyzxpqrxzyxabcabcxyzxpqrxzyx 最后，这是我的实际问题： 我们能多快确定给定的多边形是否非自交叉？ 我们多快可以确定给定的多边形是否是弱简单的？ 可以在时间内解决第一个问题，如下所示。由于存在个顶点，因此存在个顶点到顶点子路径；我们可以测试任何特定的子路径在时间内是否简单（通过蛮力）。对于每对简单的顶点到顶点子路径，我们可以测试它们是否在时间内交叉。但这不可能是最好的算法。n O （n 2）O （n …