信封悖论

有两个信封。一个包含货币，另一个包含货币数量。我不知道确切的数量“ ”，但我知道上面的内容。我选择一个信封，然后打开它。我看到其中有钱，显然。$x$$2x$$x$$y$$y \in \{x, 2x\}$

现在，我可以保留或更换信封。

切换的期望值为。保留我的信封的期望值为。$(\frac{1}{2} \cdot 2y + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}y) = \frac{5}{4}y$$y$

看来我应该经常换信封。我的两个问题：

这个推理正确吗？

如果不允许我打开信封并看到金额，然后可以选择无限期切换，是否有什么不同？$y$

这是解决问题的“预期效用最大化/博弈论”方法（带有一定的理论集概率）。在这样的框架中，答案似乎很明确。

处所

绝对诚实地告诉我们，对于个严格正数的货币，会将以下两张票证放置在一个框中： 并分配了标识号并且并分配了标识号。然后执行伯努利随机变量的平局 ，并基于结果和发生的事件，将数量和放入信封和。我们没有被告知的值是多少，或者哪个值到达哪个包络。$x$$\{A=x, B= 2x\}$$1$$\{A=2x, B= x\}$$0$$(p=0.5)$$x$$2x$$A$$B$$x$

第一种情况：选择一个信封，并选择不打开就进行切换

第一个问题是我们如何选择信封？这与首选项有关。因此，假设我们是期望的效用最大化器，具有效用函数。$u()$

我们可以在这里通过考虑两个二分随机变量（表示包络的和以及其中的数量）来对概率结构建模。每个的支持是。但是他们不是独立的。因此，我们必须从联合分配开始。在表格形式中，联合分布以及相应的边际分布为$A$$B$$\{x, 2x\}$

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{A} \;/ \;\;\text{B} \rightarrow & x & 2x & \text {Marg A} \\ \hline \hline x & 0 & 0.5 & 0.5\\ \hline 2x & 0.5 & 0 & 0.5 \\ \hline \text{Marg B} & 0.5 & 0.5 & 1.00 \\ \hline \end{array}$$

这告诉我们和具有相同的边际分布。$A$$B$

但这意味着选择信封并不重要，因为我们将始终获得相同的预期效用，

$$0.5 \cdot u(x) + 0.5\cdot u(2x)$$

我们在这里面对的是在两个相同的赌博（每个信封）上的复合赌博（如何选择信封）。我们可以选择具有概率，，或任何在两者之间（和互补的）。没关系 我们将始终获得相同的预期效用。请注意，我们对风险的态度在这里不起作用。$A$$1$$0$$B$

因此，我们确实选择了一个信封，说，我们正在研究它。现在我们期望的效用是什么？与选择之前完全一样。以任何方式挑选信封不会影响内部物品的可能性。$A$

我们可以切换。说我们做的，现在我们都拿着信封。现在预期有什么效用？与以前完全一样。$B$

这是世界对我们的两个可能的状态：选择或选择。在任何选择下，世界两个州对我们选择/假定的驱动力都具有相同的值（即，最大化预期效用）。$A$$B$

因此，在这里，我们对切换无动于衷。，实际上我们也可以将其随机化。

第二种情况：打开信封，然后选择

现在假设我们选择，将其打开，然后在找到。这会改变事情吗？ $A$$y \in \{x, 2x\}$

让我们来看看。我想知道是什么

$$P(A = x \mid A \in \{x, 2x\}) = ?$$

好吧，是在其上定义随机变量的样本空间。以整个样本空间为条件，即以琐碎的sigma-代数为条件，既不影响概率，也不影响预期值。好像我们想知道“ 如果我们知道所有可能的值都已经实现，那么值是多少？” 没有获得有效的知识，因此我们仍处于原始的概率结构。 $\{x, 2x\}$$A$$A$

但我也想知道，什么是

$$P(B = x \mid A \in \{x, 2x\}) = ?$$

条件语句正确地视为由事件生成的sigma代数，是整个产品样本空间，随机向量已经定义。从上面的联合分布表中，我们可以看到联合的概率分配与边际的概率分配等效（由于存在两个零度量事件，因此“几乎可以肯定”的资格）。因此，在这里我们也从根本上限制了在整个样本空间上的概率。因此，我们打开信封的动作也不会影响的概率结构。$\big \{A \in \{x, 2x\}\big\}$$(A,B)$$B$$B$

输入博弈论和决策。我们已经打开信封，我们必须决定是否要切换。如果不进行切换，则会得到效用。如果我们切换，那么我们处于以下两种可能的状态$u(y)$

$$y = x, u(A) = u(x) \implies u(B) = u(2x)$$ $$y = 2x, u(A) = u(2x)\implies u(B) = u(x)$$

我们不知道哪个状态实际成立，但是根据以上讨论，我们知道每个状态都有存在的概率。 $p=0.5$

我们可以将此模型建模为对手是“自然”的游戏，并且我们知道自然可以肯定地玩一个随机策略：且，。但是我们现在也知道，如果不进行转换，我们的收益是肯定的。所以这是我们正常情况下的游戏，并获得收益：$p=0.5$ $y=x$$p=0.5$$y=2x$

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{We} \;/ \;\;\text{nature} \rightarrow &y= x & y=2x \\ \hline \text{Switch} & u(2x) & u(x) \\ \hline \text{Don't Switch} & u(y) & u(y) \\ \hline \end{array}$$

我们应该抵制用和代替的诱惑。是已知的和一定的收益。实际上不知道“切换”策略的收益（因为我们不知道的值）。因此，我们应该反转替换。如果则，如果则。所以这又是我们的游戏：$u(x)$$u(2x)$$u(y)$$u(y)$$x$$y=x$$u(2x) = u(2y)$$y=2x$$u(x) = u(y/2)$

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{We} \;/ \;\;\text{nature} \rightarrow &y= x & y=2x \\ \hline \text{Switch} & u(2y) & u(y/2) \\ \hline \text{Don't Switch} & u(y) & u(y) \\ \hline \end{array}$$

现在，矩阵中的所有收益都是已知的。是否有纯粹的主导策略？

策略“ Switch”的预期收益为

$$E(V_S) = 0.5\cdot u(2y) + 0.5 \cdot u(y/2)$$

策略“不要切换”的预期收益为

$$E(V_{DS}) = u(y)$$

如果我们应该切换

$$E(V_S) > E(V_{DS}) \implies 0.5\cdot u(2y) + 0.5 \cdot u(y/2) > u(y)$$

而现在，对风险的态度变得至关重要。不难推断，在冒险和风险中性行为下，我们应该改行。

关于规避风险的行为，我发现一个不错的结果：

对于“凹度较小”（严格以上）的效用函数，而不是对数（例如平方根），则仍应切换。

对于对数效用，我们对是否切换无关紧要。$u(y) = \ln y$

对于“下凹”比（严格小于）对数效用函数，我们应该不切换。

用对数情况的图结束

假设。然后。线是“ Switch”的期望效用所在的线。由于自然界采取策略，因此实际上将在点，即中点。到那时，使用对数实用程序，我们从“请勿切换”中获得了完全相同的实用程序，即对于此数值示例，。$y=4$$y/2 =2, 2y = 8$$Γ-Δ-Ε$$50-50$$\Delta$$Γ-Δ-Ε$$\ln(4)$

如果打开信封E1并看到其值为E1 = Y，则其他信封E2的值确实在{E2 = Y / 2，E2 = 2Y}中。

确实，该包络线的期望值为（Y / 2）* Pr（E2 = Y / 2）+（2Y）* Pr（E2 = 2Y）。

错误是假设不管Y是什么，Pr（E2 = Y / 2）= Pr（E2 = 2Y）= 1/2。一种简单的表示方法是，假设每个信封中都装有各种面额的美国纸币。如果Y = $ 1，则这是不可能的E2为Y / 2。

这里没有一个更严格的证明可提供，但是其总结是首先假设，对于任何值Z，Pr（Z / 2 <= E2 <Z）= Pr（Z <= E2 <2Z）。这基本上与上一段相同，但扩展到一系列值。但是，如果这是对任何值真Ž，则意味着PR（Z * 2 ^（N-1）<= E2 <Z * 2 ^（N-1））是用于的每个值恒定Ñ，从-INF到信息 由于这是不可能的，因此该假设是不正确的。

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这可能有点令人困惑，所以让我尝试一个例子。您将获得两套两个信封。在一组中，它们包含10和20美元。在另一组中，它们包含20和40。您选择一个组，然后打开该组中的一个信封以找到20。然后，您就有机会切换到该组中的另一个信封。你应该？

是的，应该切换。切换到另一个包络的​​预期增益为[（20-10）+（20-40）] / 2 = +5。

请注意，此实例 -也就是说，知道您找到20，而不是10或40，就符合您在问题中描述的条件。因此您的解决方案有效。但是实验本身不符合该描述。如果您找到了10，或者您找到了40，则另一个信封有20的概率为100％。预期收益分别为+10和-20。如果将三个可能的收益平均化为概率，则将得到三个值，则得到10/4 + 5/2-20/4 = 0。

通常，该问题无法解决，因为您尚未指定整个实验的随机过程。

但是，让Y为您选择的信封的值，让X为其他信封。答案是 -这是一个有条件的期望。然而，假设y的最一般的分布，Y被均匀地从所有的绘制。但是然后，并且通过Borel–Kolmogorov悖论，期望是无法解决的。$E[X|Y=y]$$\mathbb{R}$$Pr(Y=y)=0$