使用风险中和剂的道德风险

我们有一个带有隐藏动作的委托人-代理模型，其中委托人是规避风险的，代理人是风险中立的；假设还有两个输出级别，和（）和两个动作。分别定义在动作下的概率。而且，从动作出发的主体无用是。与相关的工资分别为。 $x$ $x'$ $x'>x$ $a,a'$ $p(a),p(a')$ $x'$ $a,a'$ $a'$ $-1$ $x,x'$ $w,w'$

我的问题是我不确定如何证明最佳合同需要，即，风险中性的主体承担了与项目相关的所有可变性。 $x'-w' =x-w$

我对问题进行形式化（假设校长想诱导，否则我的问题就微不足道了） $a'$

$\max\limits_{\{w,w'\}} u(x'-w')p(a') + u(x-w)(1-p(a'))$

圣

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq 0$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

特别是，当我尝试通过在“标准”个体理性（带有 $\lambda$ 乘数）和激励兼容性（带有 $\mu$ 乘数）约束的情况下最大化主体的预期收益来解决问题时（我假设委托人对更多代价高昂的动作 $a'$ ）我最终得到两个方程，这些方程与上述结果不一致。特别是：

$u'(x-w) = \lambda + \mu [1- \frac{(1-p(a))}{(1-p(a'))}]$

$u'(x'-w') = \lambda + \mu [1- \frac{p(a)}{p(a')}]$

显然， iff，但在此问题中并非如此（此处）。另一种可能性是假设激励兼容性约束是松弛的（因此）；但是我不明白为什么当校长想采取最昂贵的行动时（在这里帮助） $x-w = x'-w'$ $p(a) =p(a')$ $p(a') >p(a)$ $\mu = 0$ $a'$

我在网上读到另一种方法是假设校长“卖”项目的代理，该代理，既然选择了它的努力水平最大化其预期效用，支付回一个固定数额的本金（称之为后） $\beta_{a}, \beta_{a'}$

所以我们会有类似的东西：

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 -\beta_{a'} \geq 0$ 如果代理选择进行努力，则否则。 $w'p(a) + w(1-p(a)) -\beta_a \geq 0$

但是那怎么走呢？如何确保代理将选择动作？固定金额如何确定？为什么它们是最佳的？ $a'$

decision-theory principal-agent

— night_owl89
source

提示：给定设置，不一定是有效的操作，因此委托人不一定要诱导它。您是否要人们以为是？

a^{'}

$a^\prime$

— Shane

@Shane这是在问题中陈述的：“假设校长想诱导 ”

a^{'}

$a'$

— Giskard

@denesp这是真的，但它仍然是重要的是知道是否实际上是有效的，因为考虑到风险中性代理，销售项目的代理将是最佳的不管是什么，而只会导致如果有效。如果不是有效的，但是委托人无论如何都想诱导它，那么最优契约的整个概念就变得模糊了-我们将从一组导致次优选择的契约中找到最优契约。

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

— Shane

委托人可以根据其从该操作中获得的任何效用进行支付，以得出a'。

— DJ Sims

“工资”可以为负还是零？

— Alecos Papadopoulos

Answers:

这个答案显示了三件事：

我们不需要拉格朗日方法来解决您的最大化问题。
我们也不需要的假设。 $x'-x=\frac{1}{p(a')-p(a)}$
最优合同不一定满足条件。 $x'-w'=x-w$

确实确定付款。在给定约束该问题可以写为很明显，由于目标函数在减小，因此在给定这组约束的情况下，委托人有兴趣为设置尽可能低的值。因此，他将设置 $w$

max_{w^{'}} u (x^{'} - w^{'}) p (a^{'})

$\begin{equation*} \max_{w'}{u(x'-w')p(a')} \end{equation*}$

\begin{aligned} w^{'} p (a^{'}) \geq 1 - w [1 - p (a^{'})] \\ w^{'} [p (a^{'}) - p (a)] \geq 1 + w [p (a^{'}) - p (a)] \end{aligned}

$\begin{align*} & w'p(a') \geq 1 - w[1-p(a')] \\ & w'[p(a')-p(a)] \geq 1+w[p(a')-p(a)] \end{align*}$

w^{'}

$w'$

w^{'}

$w'$

w^{'} = max {\frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}, \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}}

$\begin{equation} w' = \max\{\frac{1-w[1-p(a')]}{p(a')},\frac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)}\} \end{equation}$

就像@Alecos_Papadopoulos所做的那样，有理由假定代理受有限责任保护，即，其付款是非负数。否则，该问题不一定有解决方案：委托人总是可以受益于减小和增大，从而使个人合理性约束得到满足。但是合同显然不是令人满意的解决方案。因此，我只关注和。 $w$ $w'$ $(w=-\infty,w'=+\infty)$ $w \geq 0$ $w' \geq 0$

条件表示，因此 $w \geq 0$

\frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)} \geq \frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}

$\begin{equation*} \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \geq \dfrac{1-w[1-p(a')]}{p(a')} \end{equation*}$

w^{'} = \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}

$\begin{equation*} w' = \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \end{equation*}$

将此方程式插入目标函数，则原理问题变为

max_{w \geq 0} u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} - w) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} \max_{w \geq 0}{u(x'-\frac{1}{p(a')-p(a)}-w)p(a')+u(x-w)(1-p(a'))} \end{equation*}$ 这个目标函数在递减。因此，他只需设置和。结论是，除非有人假设（即，否则等式没有理由得到满足这后一方程装置，从造成的社会剩余等于从产生的剩余

w

$w$

w = 0

$w=0$

w^{'} = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$w'=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

x^{'} - w^{'} = x - w

$x'-w'=x-w$

x^{'} - x = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$x'-x=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

p (a^{'}) x^{'} + (1 - p (a^{'})) x - 1 = p (a) x^{'} + (1 - p (a)) x

$\begin{equation*} p(a') x' + (1-p(a'))x -1= p(a)x' + (1-p(a))x \end{equation*}$

a^{'}

$a'$

a

$a$ ：这是一个非常特殊的情况，代理人的工作成本完全由委托人的期望产出的增加来补偿。在所有其他情况下，我们都有。

x^{'} - w^{'} \neq x - w

$x'-w' \ne x-w$

我认为代理人不承担全部风险的原因是因为他的行为不可观察，因此不可收缩。在分配不受限制的风险共享经济中，此属性是正确的。但是，这里的分配由于需要激励代理人付出巨大努力而扭曲了。

— 奥利夫
source

（+1）这是一个好方法，我只是想简单地解决问题就正式。OP设置的最后一个问题：由于是任意的，因此不能保证。

x^{'}

$x'$

x^{'} \geq 1 / (p^{'} - p)

$x' \geq 1/(p'-p)$

— Alecos Papadopoulos

我不认为“委托人总是可以受益于减少和增加来保持个人理性约束的满足。” 是真的。我的意思是在某些情况下，您既无法受益又无法保持参与约束。

w

$w$

w^{'}

$w'$

— Giskard '16

@denesp我认为是正确的。取负且足够小，并且以满足两个约束。委托人的目标函数是并且当足够小时，此函数在严格减小。因此，通过降低并设置，委托人总是可以做得更好：没有有限的最优解。

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w' = \frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'})} + w \frac{1 - p (a^{'})}{p (a^{'})}) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} u(x'-\frac{1}{p(a')}+w \frac{1-p(a')}{p(a')})p(a') + u(x-w)(1-p(a')) \end{equation*}$

w

$w$

w

$w$

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w'=\frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

— 奥利夫，2013年

@Alecos Papadopoulos谢谢。您为什么要保证？

x^{'} \geq \frac{1}{p^{'} - p}

$x' \geq \frac{1}{p'-p}$

— 奥利夫，2013年

@Oliv如果，则对于主净收入为负，如果发生时，而它是正面的，如果发生（与）。实际上，即使，我们也处于这样一种情况下：即使出现时条件效用较低，委托人也要诱导动作。这将需要更全面的处理，以确定此处真正最佳的方法。当然，我们可以按原样接受所有假设的问题，但是我更喜欢只有在最后他们可以阐明原因时才与直觉相反的问题。

x^{'} < 1 / (p^{'} - p)

$x' < 1/(p'-p)$

x^{'}

$x'$

x

$x$

w = 0

$w=0$

0 < x^{'} - 1 / (p^{'} - p) < x

$0< x' - 1/(p'-p) < x$

a^{'}

$a'$

x^{'}

$x'$

— Alecos Papadopoulos

这里让我感到困扰的是：激励兼容性约束是

I C : w^{'} p (a^{'}) + w (1 - p (a^{'})) - 1 \geq w^{'} p (a) + w (1 - p (a))

$IC: w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

\begin{matrix} (1) & ⟹ w^{'} - w \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$\implies w'-w \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{1}$

...由于假设。有人告诉我们应该找到最佳值 $p(a')-p(a) >0$

\begin{matrix} (2) & x^{'} - w^{'} = x - w ⟹ x^{'} - x = w^{'} - w \end{matrix}

$x'-w' = x-w \implies x'-x = w'-w \tag{2}$

结合和，如果确实在给定约束下这是最佳选择，我们还必须 $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & x^{'} - x \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$x'-x \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{3}$

但这是对先验量的一个额外的必要约束，如果要允许假定的最优解，则必须满足。即使确实假定了这样的约束，在任何情况下，它都明显降低了问题的普遍性（这似乎表明了一般性的东西，即代理商的风险中立性如何影响解决方案）。

不过，让我们更正式地进行这项工作。我将假设可以为零，但不能为负。这是具有不等式约束，非负决策变量和非负乘数的标准形式的最大化问题。因此，问题的全部拉格朗日根是（我将以一种明显的方式来压缩符号）， $w, w'$

Λ = u (x^{'} - w^{'}) p^{'} + u (x - w) (1 - p^{'}) + λ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1] + μ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1 - w^{'} p - w (1 - p)] + ξ w + ξ^{'} w^{'}

$\Lambda = u(x'-w')p' + u(x-w)(1-p') + \lambda\cdot [w'p' + w(1-p') - 1 ]\\ + \mu \cdot [ w'p' + w(1-p') - 1 - w'p - w(1-p)] + \xi w + \xi' w'$

基本的一阶条件是

\frac{\partial Λ}{\partial w} \leq 0, \frac{\partial Λ}{\partial w} \cdot w = 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \leq 0, \;\;\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \cdot w = 0$

并类似地为。这些导致 $w'$

\frac{\partial Λ}{\partial w} = - u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) + λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} = -u'(x-w)(1-p') +\lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi \leq 0$

⟹ u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) \geq λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ

$\implies u'(x-w)(1-p') \geq \lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi$

\begin{matrix} (4) & ⟹ u^{'} (x - w) \geq λ - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x-w) \geq \lambda - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag{4}$

\frac{\partial Λ}{\partial w^{'}} = - u^{'} (x^{'} - w^{'}) p^{'} + λ p^{'} + μ (p^{'} - p) + ξ^{'} \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w'} = -u'(x'-w')p' +\lambda p' + \mu (p'-p) + \xi' \leq 0$

\begin{matrix} (5) & ⟹ u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq λ + μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x'-w') \geq \lambda + \mu\frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5}$

首先要注意的是，并非所有工资都可以为零，因为这将违反约束条件。鉴于此，请考虑绑定的可能性（因此）。如果它具有约束力，那么在两个工资都不都是零的情况下，必然会违反约束。所以我们得出结论 $IR$ $\lambda >0$ $IC$

λ_{*} = 0

$\lambda_* = 0$

现在一阶条件变成

\begin{matrix} (4a) & u^{'} (x - w) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x-w) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag {4a}$

\begin{matrix} (5a) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') \geq \mu \frac{p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5a}$

现在注意，如果（即），则应保持相等，并且右边的最后一项等于零。但这需要负的边际效用，这是不可接受的。我们还知道，并非两种工资都可以为零。所以我们得出结论，我们必须 $\xi =0$ $w >0$ $(4a)$

ξ_{*} > 0, w_{*} = 0, ξ_{*}^{'} = 0, w_{*}^{'} > 0

$\xi_* > 0 , w_*=0,\;\;\; \xi'_* = 0,\; w'_* >0$

现在条件变成了

\begin{matrix} (4b) & u^{'} (x) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4b}$

\begin{matrix} (5b) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) = μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') = \mu \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5b}$

等式表示在常规效用函数规范下，，除无穷大外，不提供零边际效用。反过来，这意味着约束应保持相等。鉴于这给出了 $(5b)$ $\mu_*>0$ $IC$ $w_*=0$

\begin{matrix} (6) & I C : w^{'} p^{'} - 1 - w^{'} p = 0 ⟹ = w_{*}^{'} = \frac{1}{p^{'} - p} \end{matrix}

$IC: w'p' - 1 - w'p =0 \implies = w'_* = \frac 1{p'-p} \tag{6}$

因为的右侧与和的右侧相同，所以应该按一下。 $(6)$ $(1)$ $(3)$

即，如果我们假设的先验条件，那么我们得出的解决方案将验证要求 $x'-x = \frac 1{p'-p}$ $x'-w'_* = x-w_*$

在此附加假设下，我们还获得

\begin{matrix} (4c) & u^{'} (x) \geq - μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu_* \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4c}$

\begin{matrix} (5c) & u^{'} (x) = μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) = \mu_* \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5c}$

结合起来，我们得到

μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}}

$\mu \frac{p'-p}{1-p'} \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'}$

\begin{matrix} (7) & ⟹ μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)} \end{matrix}

$\implies \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)} \tag{7}$

这是可以接受的。因此，在，我们获得了解 $x'-x = \frac 1{p'-p}$

{w_{*}^{'} = x^{'} - x = 1 / (p^{'} - p), w_{*} = 0, λ_{*} = 0, μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)}, ξ_{*} > 0, ξ_{*}^{'} = 0}

$\left \{w'_* = x'-x = 1/(p'-p), w_* =0, \lambda_*=0, \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)}, \xi_* >0, \xi'_* =0\right\}$

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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