Barro（2009）在AER中的罕见灾害模型：如何推导方程式（10）？

在Barro（2009）中，罕见灾害，资产价格和福利成本 Barro用Epstein-Zin偏好开发了Lucas树模型。

我的问题与论文的等式（10）有关。在这个方程中巴罗指出下的最优解效用正比于消耗 rased到的功率，其中是相对风险规避系数，即$U_t$$C_t$$1-\gamma$$\gamma$

$U_t=\Phi C_t^{1-\gamma}$

虽然我了解此结果的逻辑，但我不了解他如何得出常数，该常数在上述论文的脚注7中显示：$\Phi$

Alberto Giovannini和Philippe Weil（1989，附录）表明，利用等式（9）中的效用函数，所获得的效用与提高到幂财富成比例。公式（10）中的形式如下，因为在同等情况下，被最优选择为财富的恒定比率。对于式是，如果 ，$U_t$$1-\gamma$$C_t$$\Phi$$\gamma \neq 1$ $\theta \neq 1$

$$\Phi = (\frac{1}{1-\gamma})\{\rho+(\theta-1)g^* - (1/2)\gamma(\theta -1)\sigma^2 - (\frac{\theta-1}{\gamma-1})p[E(1-b)^{1-\gamma} - 1 - (\gamma - 1)Eb] \}^{(\gamma-1)/(1-\theta)}$$

Barro引用了Giovannini和Weil在1989年发表的NBER论文。在本文中，我可以得出常数。但是，它看起来与Barro的版本完全不同，因为我最终得到一个包含的表达式，其中是股本回报率。相信巴罗已取代与的平衡溶液 。但是，他的表达式不包括任何日志或exp表达式。$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$

对于解决方案或解决方案的任何提示，我将不胜感激。

我认为Barro在脚注中表示Giovanni和Weil找到相同的方程，但使用的是的最佳路径。在巴罗的论文，该方法是不同的假设的动态是外生的：的假设。$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$C_t$$C_t$$C_t=Y_t$

当周期的长度接近0时，Barro使用极限情况。也许让读者感到困扰的是，模型被定义为离散的。

改写模型

首先，我们可以使用句点的长度重写模型，然后使用。GDP动态将 与和的概率为而的概率为。该实用程序满足 $\delta$$\delta\to 0$

$$\log(Y_{t+\delta})=\log(Y_t)+g\delta+u_{t+\delta}+v_ {t+\delta}$$ $u_{t+\delta}\sim \mathcal{N}(0,\delta\sigma^2)$$v_{t+\delta}=0$$1-p\delta$$\log(1-b)$$p\delta$ $$U_t=\frac{1}{1-\gamma}\left\lbrace C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}\left[(1-\gamma)E_tU_{t+\delta}\right]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace^\frac{1-\gamma}{1-\theta}.$$

1）找到作为的函数$\Phi$$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

从现在开始，假设存在一个，使得（请注意，取决于先验）。定义，该实用程序满足 我们替换： 因此，我们获得， $\Phi$$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$\Phi$$\delta$$H(U)=[(1-\gamma)U]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}$

$$\begin{align} H(U_t)= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(E_tU_{t+\delta}). \end{align}$$ $U_t$ $$\begin{align} H(\Phi)C_t^{1-\theta}= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(\Phi)\left(E_t\left[C_{t+\delta}^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$ $C_t\neq 0$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left(E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$

2）从GDP动态中找到$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

诀窍是从GDP动态中找到期望值。 取期望值并使用和之间的独立性，它遵循 其中跟随 的的期望是

$$\begin{align} \left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ $u_{t+1}$$v_{t+1}$ $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).E_t\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).E_t\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ $\exp(X)$$X$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\exp(\sigma^2/2)$。是一个随机变量，其概率为等于，而的概率为。我们用期望运算符代替： 最后，我们使用计算的方程： $\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right)$$1$$1-p\delta$$(1-b)^{1-\gamma}$$p\delta$ $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)^2\sigma^2\delta}{2}\right).\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ $C_t=Y_t$$\Phi$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left\lbrace\exp\left((1-\theta)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\right.\\ &\left. .\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace. \end{align}$$

3）将近似$\delta\to 0$

最后一步是采用一阶近似值（我一直滥用等号）： 追求一阶apprixmation（所有与可以忽略不计），我们有 替代使用

$$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-(1-\rho\delta). \left(1+(1-\theta)g\delta\right).\left(1+\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\\ & .\left(1-\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta+\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ $\delta^i$$i>1$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g\delta-\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ $g$$g^*=g+\frac{\sigma^2}{2}-pEb$， 我们采用并求反函数在本文的脚注7中找到解决方案。该方程式的右侧“简化”为公式中的大括号。 $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g^*\delta+(1-\theta)\frac{\sigma^2}{2}\delta -(1-\theta)pEb\delta -\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ $\delta=1$$H$