Barro(2009)在AER中的罕见灾害模型:如何推导方程式(10)?


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在Barro(2009)中,罕见灾害,资产价格和福利成本 Barro用Epstein-Zin偏好开发了Lucas树模型。

我的问题与论文的等式(10)有关。在这个方程中巴罗指出下的最优解效用正比于消耗 rased到的功率,其中是相对风险规避系数,即UtCt1γγ

Ut=ΦCt1γ

虽然我了解此结果的逻辑,但我不了解他如何得出常数,该常数在上述论文的脚注7中显示:Φ

Alberto Giovannini和Philippe Weil(1989,附录)表明,利用等式(9)中的效用函数,所获得的效用与提高到幂财富成比例。公式(10)中的形式如下,因为在同等情况下,被最优选择为财富的恒定比率。对于式是,如果 ,Ut1γCtΦγ1 θ1

Φ=(11γ){ρ+(θ1)g(1/2)γ(θ1)σ2(θ1γ1)p[E(1b)1γ1(γ1)Eb]}(γ1)/(1θ)

Barro引用了Giovannini和Weil在1989年发表的NBER论文。在本文中,我可以得出常数。但是,它看起来与Barro的版本完全不同,因为我最终得到一个包含的表达式,其中是股本回报率。相信巴罗已取代与的平衡溶液 。但是,他的表达式不包括任何日志或exp表达式。E[Rt1γ]RtE[Rt1γ]Rt

对于解决方案或解决方案的任何提示,我将不胜感激。


看起来很棒!谢谢你的努力。我需要几天的时间来查看答案的第2部分和第3部分,但看起来非常直观。
drcms02

Answers:


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我认为Barro在脚注中表示Giovanni和Weil找到相同的方程,但使用的是的最佳路径。在巴罗的论文,该方法是不同的假设的动态是外生的:的假设。Ut=ΦC1γCtCtCt=Yt

当周期的长度接近0时,Barro使用极限情况。也许让读者感到困扰的是,模型被定义为离散的。

改写模型

首先,我们可以使用句点的长度重写模型,然后使用。GDP动态将 与和的概率为而的概率为。该实用程序满足 δδ0

log(Yt+δ)=log(Yt)+gδ+ut+δ+vt+δ
ut+δN(0,δσ2)vt+δ=01pδlog(1b)pδ
Ut=11γ{Ct1θ+11+ρδ[(1γ)EtUt+δ]1θ1γ}1γ1θ.

1)找到作为的函数ΦEt[(Ct+δCt)1γ]

从现在开始,假设存在一个,使得(请注意,取决于先验)。定义,该实用程序满足 我们替换: 因此,我们获得, ΦUt=ΦC1γΦδH(U)=[(1γ)U]1θ1γ

H(Ut)=Ct1θ+11+ρδH(EtUt+δ).
Ut
H(Φ)Ct1θ=Ct1θ+11+ρδH(Φ)(Et[Ct+δ1γ])1θ1γ.
Ct0
1H(Φ)=111+ρδ(Et[(Ct+δCt)1γ])1θ1γ.

2)从GDP动态中找到Et[(Ct+δCt)1γ]

诀窍是从GDP动态中找到期望值。 取期望值并使用和之间的独立性,它遵循 其中跟随 的的期望是

(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)ut+δ).exp((1γ)vt+δ).
ut+1vt+1
Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).Etexp((1γ)ut+δ).Etexp((1γ)vt+δ).
exp(X)XN(0,σ2)exp(σ2/2)。是一个随机变量,其概率为等于,而的概率为。我们用期望运算符代替: 最后,我们使用计算的方程: exp((1γ)vt+δ)11pδ(1b)1γpδ
Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)2σ2δ2).(1pδ+pE[(1b)1γ]δ).
Ct=YtΦ
1H(Φ)=111+ρδ{exp((1θ)gδ).exp((1γ)(1θ)σ2δ2).(1pδ+pE[(1b)1γ]δ)1θ1γ}.

3)将近似δ0

最后一步是采用一阶近似值(我一直滥用等号): 追求一阶apprixmation(所有与可以忽略不计),我们有 替代使用

1H(Φ)=1(1ρδ).(1+(1θ)gδ).(1+(1γ)(1θ)σ2δ2).(11θ1γpδ+1θ1γpE[(1b)1γ]δ).
δii>1
1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ.
gg=g+σ22pEb, 我们采用并求反函数在本文的脚注7中找到解决方案。该方程式的右侧“简化”为公式中的大括号。
1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ+(1θ)σ22δ(1θ)pEbδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ.
δ=1H
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