博彩业利润最大化的一阶条件

我正在研究赌博行业中最佳支出百分比的模型。

因为1 美元门票的名义价格始终为 1 美元，所以我们使用有效的价格策略，其中Q = 1 美元的赢取奖金。如果游戏支付50％，则有效价格为2 美元，因为这是赢得预期的1 美元奖金所需的费用。很简单，对吧？

好吧，我在一些研究中碰到了这个脚注，但无法从第一个方程式得出它们如何达到获利最大化的一阶条件：

“让表示作为数量单位函数的运营成本，其中一个数量单位定义为奖品期望值的一美元。$C(Q)$

彩票代理机构的净利润为

$$N = PQ - Q - C(Q)$$

其中是按数量单位收取的价格。$P$

可以写出利润最大化的一阶条件

$$-E_{PQ} = P(1 - C')/[P(1 -C')- 1]$$

如果边际运营成本为销售额的％，支付率为％，则我们有和，这意味着最大利润时需求的价格弹性为。50 P = 2 C ^ ' = 0.12 - $6$$50$$P = 2$$C' = .12$$-2.3$

为了提高支付率以增加利润，绝对值必须超过。”$E_{PQ}$$2.3$

- [引文] Clotfelter，Charles T和Philip J Cook。“关于国家彩票的经济学。” 经济观点杂志：105-19。

在FOC方程中，是需求的有效价格弹性。通常可以通过在第一个方程中取相对于的导数来发现。 P $-E_{PQ}$$P$$Q$

他们是如何最终到达那里的呢？我必须缺少一些东西。

我很难理解如何达到特定的一阶条件-是由于净收入方程式的某些衍生过程的结果，还是仅仅是应用了外部条件。

谢谢！

有问题的表达方式在所引用文章的脚注中。阅读本文，我们看到这里的决策变量是“支付率”，这是的倒数。因此，等效地，我们可以解决关于的最大化问题（而不是）。而且，“需求的价格弹性”涉及相对于的导数，而不是相反：P P Q Q $11$$P$$P$$Q$$Q$$P$

$$E_{PQ} = \frac {dQ/dP}{Q}P$$

并且我们希望它是负数（较高的价格表示较低的支付率，导致此处对数量计量的需求减少，即，“奖品需求”减少）。

我们可以将最大化问题写为

$$\max_{P}N = \max_{P}\left[P\cdot Q(P) - Q(P) - C(Q(P))\right]$$

一阶条件是

$$\frac{\partial N}{\partial P} = Q + P\cdot Q' - Q' - C'\cdot Q' = 0 \tag{1}$$

乘以：$P/Q$

$$Q\frac PQ + P\cdot Q'\frac PQ - Q'\frac PQ - C'\cdot Q'\frac PQ = 0$$

$$\Rightarrow P +P\cdot E_{PQ} - E_{PQ} - C'\cdot E_{PQ}=0$$

$$\Rightarrow -E_{PQ} = \frac {P}{P-1-C'} \tag{2}$$

这是有道理的。插入参考中提供的值，我们有

$$-E_{PQ} = \frac {2}{2-1-.12} = \frac {2}{0.88} \approx 2.27$$

这非常接近作者提出的方程式得出的值。无论如何，我都无法复制其公式，但无论如何，等式是正确的。如果达成和解，我会更新。$(2)$