罗森对角严格凹度条件

考虑与游戏球员，与战略空间，其中是有界集，以及玩家的支付函数。Rosen 在n个玩家游戏中Nash均衡的唯一性的条件（JB Rosen。凹n人游戏的平衡点的存在和唯一性。Econometrica，33（3）：520–534，1965）指出，当n个参与者博弈时，纳什均衡的唯一性 $n$ $S \subset \mathbb{R}$ $S$ $i$ $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

支付函数是自己的战略凹 $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
存在矢量（，使得函数对角严格凹 $\textbf{z}$ $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

表示一组玩家。 $N$

为了定义严格对角线凹部的概念，拳头引入功能的“pseudogradient” ，与定义为： $\sigma$ 然后，函数被认为是对角严格占优在固定如果对于每个下式成立：

\begin{aligned} g (s, z) = (\begin{matrix} z_{1} \frac{\partial π_{1} (s)}{\partial s_{1}} \\ z_{2} \frac{\partial π_{2} (s)}{\partial s_{2}} \\ . . . \\ z_{n} \frac{\partial π_{n} (s)}{\partial s_{n}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$

σ

$\sigma$

s \in S

$\mathbf{s} \in S$

z \geq 0

$\mathbf{z} \geq 0$

s^{0}, s^{1} \in S

$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$

\begin{aligned} (s^{1} - s^{0})^{'} g (s^{0}, z) + (s^{0} - s^{1})^{'} g (s^{1}, z) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$

$\sigma$ $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ $\mathbf{s} \in S$ $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ $g$ $\mathbf{s}$

game-theory nash-equilibrium

— 尼吉西
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$\sigma(s,z)$ $\sigma$ $g(s,z)$

$\sigma$

— 多沙米尔
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感谢您的回答！您写的基本上是罗森原始论文的结果之一。当我说直觉时，我的意思是严格的凹度条件抓住了游戏中战略互动的哪些属性？例如，此条件是否说明其他玩家的行为如何影响玩家i的收益，或者玩家i的行为如何影响游戏中其他玩家的收益。抱歉，如果我对这个问题不够清楚。

— Nidjsi