CES：生产函数：替代弹性

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我必须证明 $\sigma = 1/(1 + \rho)$ 对于CES生产功能：

\begin{aligned} q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}} \end{aligned}

$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$

我发现我需要解决以下方程式：

\begin{aligned} σ = \frac{\frac{d (k / l)}{k / l}}{\frac{d R T S}{R T S}} = \frac{d (k / l)}{d R T S} \frac{R T S}{k / l} = \frac{d (k / l)}{d ((k / l)^{1 - ρ})} \frac{(k / l)^{1 - ρ}}{k / l} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$

但是我只是不知道如何将这个表达式重写为 $\sigma = 1/(1 + \rho)$

production-function

— 弗兰克·弗兰克
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查看Cobb Douglas生产的示例，并尝试为CES解决它。en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_substitution

— 毫无头绪

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生产函数为：

q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}}

$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$ MPL和MPK分别是：

q_{l} = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}

$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$

q_{k} = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}

$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$ l可以代替k的比率是多少？

哪里 $f$ 是单个变量的可微实值函数，我们定义f（x）相对于x（在x点处）的弹性为

σ (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \equiv \frac{\frac{d f (x)}{f (x)}}{\frac{d x}{x}}

$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$

进行变量更改，以使 $u = ln(x)$ （ $\rightarrow x = e^u$ ）和 $v=ln(f(x))$ （ $\rightarrow f(x) = e^v$ ）
注意 $v' = f'(x) / f(x)$ 和 $u'=\frac{1}{x}$ 以便 $\frac{v^{'}}{u^{'}} = \frac{\frac{f^{'} (x)}{f (x)}}{\frac{1}{x}} = σ (x)$ $\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$
请注意，这也是您通过求解获得的结果 $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ 因为 $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ 我们通过链式规则解决： $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} \cdot x$ $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$ 恰好是...的定义 $\sigma(x)$ 。

现在，让我们解决您的弹性问题。

l n (\frac{q_{k}}{q_{l}}) = l o g (\frac{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}}{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}}) = l n (\frac{l}{k})^{ρ - 1} = (ρ - 1) l n (l / k) = (1 - ρ) l n (k / l)

$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$

\Rightarrow l n (k / l) = \frac{1}{1 - ρ} \cdot l n (\frac{q_{k}}{q_{l}})

$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$

所以 $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

— 凯
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\frac{1}{ρ}

$\frac{1}{\rho}$ 和

ρ

$\rho$ 可以从派生词MPL和MPK简化以简化说明。

— garej '18年

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我想在上面的答案中添加一些内容。我之前写了一条评论，但我认为将其充实些会有所帮助。

我们有一家使用生产要素（劳动力）的公司 $l$ 和资本 $k$ ，以产生输出。输出量已写入 $q$ 。

单个变量的函数的弹性度量因变量对自变量百分比变化的响应百分比。

另一方面，两个要素输入之间的替代弹性衡量的是其数量与相对边际乘积的百分比变化之间的百分比响应。

与上述有关，我们认为弹性是由

\begin{aligned} σ \equiv \frac{d \ln （ ķ / 升 ）}{d \ln （ 中号 P 大号 / 中号 P ķ ）} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma \equiv \frac{d \ln{\left( k/l \right)}}{d\ln{ \left( MPL/MPK \right)}} \end{align}$

哪里 $MPL$ 是劳动的边际产品， $MPK$ 是资本的边际产品。

我写这个的原因是上面的答案有一个小错误。在“现在让我们解决您的弹性问题”之后的等式中， $\ln{\frac{q_k}{q_l}}$ 紧随其后的是 $\ln{\frac{q_l}{q_k}}$ 用分母切换分子。

如果您更正此问题，您将获得 $\sigma = -\frac{1}{1-\rho}$ ，这很接近，但不太正确。要获得正确答案，请按照上述答案给出的完全相同的计算方法进行计算，

\ln ķ / 升 = \frac{1个}{1个 - ρ} \cdot \ln \frac{q_{升}}{q_{ķ}}

$\ln{k/l} = \frac{1}{1-\rho}\cdot \ln {\frac{q_l}{q_k}}$

得到那个 $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$ ，其中的更正是出于上述原因。

— 数学问题1
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