计算平衡增长路径的时间

$\textbf{Model:}$

\underset{{c_{t}, k_{t}}}{m a x} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} \frac{c_{t}^{1 - γ}}{1 - γ}

$\underset{\{c_t,k_t\}}{max}\;\sum_{t=0}^\infty\beta^t\frac{c_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}$

s . t . c_{t} = R k_{t - 1} - k_{t}

$s.t.\;c_t=Rk_{t-1}-k_t$

c_{t}, k_{t} \geq 0

$c_t,k_t\geq0$ 在时间，为消耗，为生产中使用的资本。

t

$t$

c_{t}

$c_t$

k_{t - 1}

$k_{t-1}$

0 < β < 1, γ > 0, γ \neq 1

$0<\beta<1,\;\gamma>0,\;\gamma\neq1$

$\textbf{(a)}$ 计算消费和资本以固定利率增长的平衡增长途径。

使用欧拉方程解决这个问题，得到我们知道资本必须增长与平衡增长路径中的消费相同，所以这意味着那：两者都需要哪些限制资本和消费在平衡增长道路上以正增长率增长？

\frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = (β R)^{\frac{1}{γ}}

$\frac{c_{t+1}}{c_t}=\big(\beta R\big)^{\frac{1}{\gamma}}$

\frac{k_{t + 1}}{k_{t}} = (β R)^{\frac{1}{γ}}

$\frac{k_{t+1}}{k_t}=\big(\beta R\big)^{\frac{1}{\gamma}}$

c_{t} = (\frac{R}{(β R)^{\frac{1}{γ}}} - 1) k_{t}

$c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg)k_t$

(b)

$\textbf{(b)}$

对于这个问题，似乎我们所需要的只是 $R>1$

现在，我的问题如下：消费和资本需要多长时间才能达到平衡增长的道路？一般来说，如何计算平衡增长路径的时间？还是更基于经济直觉？

$\textbf{Edit:}$ 据另一名学生说，教授说这将永远不会达到平衡的增长道路。然而，教授从未说明原因。有人可以给我一个推理，说明为什么它永远不会达到平衡的增长路径？

macroeconomics balanced-growth

— DornerA
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@KitsuneCavalry我们需要反转增长率，因为我们正在及时倒退而不是向前

— DornerA

我错过了减号和加号。我现在知道了。我将删除我的评论（出于纯粹的“”“屈辱”“”在算术的手中）

— Kitsune Cavalry

谈论没有生产部门的增长是不是很奇怪？这个问题类似于吃蛋糕的问题。您从资本开始，并选择每个期间消耗多少，因为如果，资本就会贬值。从长远来看，消费和资本往往趋于0。

k_{0}

$k_0$

R < 1

$R<1$

— GuiWil 2016年

@DornerA确实这个问题似乎不明确。我们从哪里开始，我们遵循什么样的行为规则？我猜这是Solow模型，但没有说明，也没有生产函数的任何属性。如果我们从均衡的增长道路开始并坚持下去，就没有问题。如果我们从那里开始但是在第一天吃完所有东西，我们当然永远不会再次到达它。因此需要更多信息。

— Giskard 2016年

@denesp我们给出的唯一其他信息是关于参数的值。我会将其包含在问题中，但似乎它不会为您提供所需的信息。我真的希望我能给予更多，但我只是想弄清楚如何找出平衡增长路径/稳定状态的时间的问题/一般直觉。再次，正如我在小赏金盒中所述，我不需要完全回答这个问题。我只是想知道是否有一个食谱或直观的方法来解决平衡增长路径或稳定状态的时间。

— DornerA 2016年

a）你的计算是正确的，但为了消费是积极的，所以对于你需要额外的条件。第一个是明显的。如果没有什么可以获得利益，就没有增长和消费。第二个是更细微的这实际上是存在最优解的必要条件。不平等可以重新表述为如果这不成立，那么给定消费者将通过进一步推迟所有消费而获得的任何消费路径。由于没有无限远的时间段，因此不存在最优化。

c_{t} = (\frac{R}{(β R)^{\frac{1}{γ}}} - 1) k_{t} > 0,

$c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg)k_t > 0,$

k_{t} > 0

$k_t > 0$

\frac{R}{(β R)^{\frac{1}{γ}}} - 1 > 0.

$\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1 > 0.$

β \cdot R^{1 - γ} < 1.

$\beta \cdot R^{1 - \gamma} < 1.$

b）达到平衡的消费道路：
也许有一个窍门。除非有否则似乎定义不明确。如果仅在时开始消费，则满足上述条件并且消费者是理性的然后定义最佳消费路径，因为我假设给定并且因此 $c_0$ $k_{-1}$ $t = 1$

\forall t : c_{t} = (\frac{R}{(β R)^{\frac{1}{γ}}} - 1) k_{t}

$\forall t: \ c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg)k_t$

k_{0}

$k_0$

\forall t : k_{t} = k_{0} \cdot (β R)^{\frac{t}{γ}} .

$\forall t: \ k_t = k_0 \cdot (\beta R)^{\frac{t}{\gamma}}.$

\forall t : c_{t} = (\frac{R}{(β R)^{\frac{1}{γ}}} - 1) \cdot k_{0} \cdot (β R)^{\frac{t}{γ}} .

$\forall t: \ c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg) \cdot k_0 \cdot (\beta R)^{\frac{t}{\gamma}}.$ 可以直接检查此路径是否可行（如果满足a中规定的条件）并且是平衡的。

关于达到平衡消费路径的说明：这种概念通常存在于平衡性和最优性之间存在某些冲突或消费者有限理性时。（例如Solow模型。）这似乎不是这种情况。然而，当出现这样的冲突时，通常会有一个永无止境的（这是否正确拼写这个词？如果错误，请纠正。）向平衡路径的收敛。距离在每个时段减少但从不变为0。

— Giskard
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