改良凯恩斯选美大赛的纳什均衡

最近我在我们学院的学生中进行了一场小游戏。该游戏基于凯恩斯的选美比赛。参与者必须猜测一个介于0到100之间的数字，而其猜测最接近所有猜测平均值的2/3的参与者将赢得比赛。

不同之处在于：我们还在每一轮比赛中都向获胜者奖励了钱。这笔钱是一个倍数，是最终数字的5倍（平均值的2/3）。

此修改后的游戏的纳什均衡将是什么。解决原始问题的方法当然是每个人都选择0。在上述博弈中，平衡会发生变化吗？考虑n大于30。任何帮助将不胜感激。

假设玩家必须选择整数，否则可能不存在最佳响应。假设获胜的收益为，。考虑两个玩家（A和B）的情况，让我们验证选择大于选择是否最佳。α>0$\alpha\cdot[\frac23\text{ of the average}]$$\alpha>0$$0$

假设A选择。然后B可以通过选择来保证获胜，因为比更接近。但是，如果B选择，则A选择是最佳响应（无论如何A都会为零）。因此，我们将拥有一个NE，其中并非两个玩家都选择，而选择那个获得正收益。x − 1 $x>0$$x-1$x−1x0x=10$\frac23(x-\frac12)$$x-1$$x$$0$$x=1$$0$$0$

这种平衡可以推广到情况。让玩家选择，剩下的一个选择。在这种平衡下，选择将分享正的回报（每个人都得到）。它们是最好的响应，因为选择任何都将意味着零回报。选择的人也是最好的回应，因为他无论如何都会得到零。（当然，这不是唯一的平衡。还有一个所有人都选择平衡点，这很明显。）Ñ - 1 0 1 0 $n$$n-1$$0$$1$$0$ x>01$\frac{\alpha}{n-1}\cdot\frac23\cdot\frac1{n}$$x>0$$1$$0$

诚然，上述均衡主要取决于以下假设：玩家只能选择整数。但这是由于以下事实：收益是选择的函数（与问题原始版本中的固定金额相比）。假设玩家可以选择任何实数。然后，如果A选择，则B最好通过选择做出响应，其中（B当然会获胜，但她也想通过使她的选择尽可能接近A）。但是，这样的不存在。因此，唯一的平衡是每个人都选择。X > 0 X - ε ε = 分钟{ ÿ ：Ý > 0 } ε $[0,100]$$x>0$$x-\epsilon$$\epsilon=\min\{y:y>0\}$$\epsilon$$0$

直觉是这样的：无论获胜多大，如果不赢，就不会得到。但是要赢得胜利，您需要选择小些。因此，取胜的动机压倒了取胜的动机。

@denesp将答案钉在了头上。

这与原始博弈在任何有意义的方面都没有不同，因此，纳什均衡保持不变。支出的大小不会改变游戏的结果。这是因为选择零的策略（假设所有各方都是完全理性的，这是纳什均衡的条件）主导了所有其他策略。

请记住，实际上并非所有各方都是完全理性的，因此不应期望您与学生进行的游戏结果能够反映出这一点。