新古典增长模型中的横向条件

在新古典增长模型中，存在以下横向条件：

lim_{t \to \infty} β^{t} u^{'} (c_{t}) k_{t + 1} = 0,

$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$ 其中是周期的资本。

k_{t + 1}

$k_{t+1}$

t

$t$

我的问题是：

我们如何得出这种条件？
如果我们想排除没有债务积累的道路，为什么我们要这样做呢？
为什么拉格朗日乘数是现在的资本折现值？ $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$

economic-growth dynamic-optimization

— 内塔1990
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看看这些答案的之间的区别横截最优条件和偿债能力外生约束，economics.stackexchange.com/a/13681/61 和economics.stackexchange.com/a/11866/61

— 阿莱科斯·帕帕佐普洛斯

在这篇文章中，我试图对横向条件背后的直觉给出非数学的简单语言描述：medium.com/@alexanderdouglas / ...但是我不是宏观经济学家，所以我很可能会弄错了。如果是这样，我希望一些答复会很快出现。

— 亚历山大·道格拉斯

这应该是一条评论，因为您仅提供了外部内容的链接。同样，可转换性条件不依赖于关于期望形成的任何假设，因为即使在不确定性不存在的确定性模型中，它也是一个条件。它与政府债务没有特别关系，但与任何资产都有关系。基本要点如下：假设没有遗赠动机（我们不在乎我们的后代或社会），那么“留下”未消费的财富是次优的。这里的所有都是它的。

— Alecos Papadopoulos

CONTD在有限的范围内是相当简单的，并且通常情况下，当范围变为“无限”时，它会变得不那么直接和不言而喻。

— Alecos Papadopoulos

Answers:

如果我们从有限视野的问题开始，则横向条件可能更容易理解。

在标准版本中，我们的目标是主题到与给出。关联的拉格朗日（乘数，和）是的方便旗是

max_{{c_{t}, k_{t + 1}}_{t = 0}^{T}} \sum_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t})

$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$

\begin{aligned} f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T & (resource/budget constraint) \\ c_{t}, k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T & (non-negativity constraint) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$

k_{0}

$k_0$

λ_{t}

$\lambda_t$

μ_{t}

$\mu_t$

ω_{t}

$\omega_t$

max_{{c_{t}, k_{t + 1}, λ_{t}, μ_{t}, ω_{t}}_{t = 0}^{T}} \sum_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t}) + λ_{t} (f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1}) + μ_{t} c_{t} + ω_{t} k_{t + 1}

$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$

\begin{aligned} c_{t} : & β^{t} u^{'} (c_{t}) - λ_{t} + μ_{t} & = 0, t = 0, \dots, T \\ k_{t + 1} : & - λ_{t} + λ_{t + 1} f^{'} (k_{t + 1}) + ω_{t} & = 0, t = 0, \dots, T - 1 \\ (1) & k_{T + 1} : & - λ_{T} + ω_{T} & = 0, T + 1 \end{aligned}

$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$ 与Kuhn-Tucker互补松弛条件：对于，由于资源约束必须在所有周期中都具有约束力，即所有都，因此在最后一个周期时，。

t = 0, \dots, T

$t=0,\dots,T$

\begin{aligned} λ_{t} (f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1}) & = 0 & λ_{t} & \geq 0 \\ μ_{t} c_{t} & = 0 & μ_{t} & \geq 0 \\ (2) & ω_{t} k_{t + 1} & = 0 & ω_{t} & \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$

λ_{t} > 0

$\lambda_t>0$

t

$t$

T

$T$

ω_{T} = λ_{T} > 0

$\omega_T=\lambda_T>0$

k_{T + 1} = 0

$k_{T+1}=0$

通常我们假设所有（Inada条件）为，这意味着所有。因此，消费FOC变为 $c_t>0$ $t$ $\mu_t=0$ $t$

\begin{matrix} (3) & β^{t} u^{'} (c_{t}) = λ_{t} \end{matrix}

$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$

观察最后一个周期中的条件和，我们得到将其扩展到无限范围，我们得到了横向条件 $(1)$ $(2)$ $(3)$ $T$

β^{T} u^{'} (c_{T}) k_{T + 1} = 0

$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

lim_{T \to \infty} β^{T} u^{'} (c_{T}) k_{T + 1} = 0

$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

横向条件的直觉部分是“上一时期没有节省”。但是，由于在无限远景环境中没有“最后一个时期”，因此随着时间的推移，我们将达到极限。

— K先生
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我认为，最好的推论是逻辑。这样考虑：如果我们要告诉家庭的唯一事情就是最大程度地发挥其效用，那么最佳行为就是无穷债而无限消费。这不是明智的解决方案。因此，我们需要另一个最佳条件。这应该回答问题2。

在有限的时间范围内，可行性将通过必须在最后一个时期偿还债务来实现。在无限地平线设置中这是不可能的。但是，正如您所建议的，“排除债务积累”是一个过于严格的条件（横向条件允许产生债务！）。

要回答问题3，让我们看一下。它代表将资本的单位转移到期间t并加以消耗的（边际）效用收益（以现值收益表示）。如果此效用收益在无穷大时为正，我们可以通过在“无穷大”处消耗更多的钱来增加整体效用，因此我们的资本路径将不是最优的。 $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$ $k_{t+1}$

问题1：要导出此条件，您可以提出我刚刚提出的逻辑参数，以表明没有横向条件时，资本路径不是最优的；或者，对于数学证明，您可以查看例如Per Krusell的注释（尽管很难掌握）

— 克里斯·蒂恩
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