在对数线性化的新凯恩斯模型中，

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这可能是一个很奇怪的问题，但不幸的是我对术语感到困惑。让我们假设由Gali在此处提出的对数线性化的新凯恩斯模型：http : //crei.cat/people/gali/pdf_files/monograph/slides-ch3.pdf

我的第一个问题是，假定稳态值可以对输出进行对数线性化，但是该是恒定值还是整个稳态输出路径？同样地，如果根据长期自然利率而没有随机因素和误差地发展，那么关于产出将如何发展的是否相等？ $Y$ $Y_t$ $Y$ $Y$ $Y_t$

与第一个问题有关的第二个问题是是指总产出还是归一化产出。也就是说，如果经济的产出增长率为正，增长吗？还是标准化输出在没有随机因素的情况下不会改变？ $Y_t$ $Y_t$

我的第三个问题是，什么实际平均值。据我了解，它只是。它是否正确？ $y_t$ $\log Y_t$

存在消费欧拉方程的事实似乎支持直觉，即是稳定的输出路径，而不是恒定的稳定值，因为实际利率通常对经济是正的。我的困惑由此而生，我不确定这是否是正确的理解。 $Y$

macroeconomics

— 纽克
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如您链接的Galí演示幻灯片11所述，对数线性化是在一个稳定的状态下执行的，该状态具有零膨胀率，恒定的输出和恒定的边际成本加成。因此，确实希望是一个恒定值，即输出的稳态水平，围绕该水平执行对数线性化。如您所说，只是周期中总输出的水平，而是总输出的对数值。 $Y$ $Y_t$ $t$ $y_t=\log Y_t$

在这里似乎相关的其他几点：

基本新凯恩斯模型的推导是在没有稳态趋势输出增长的假设下进行的。我们只能确保对数线性化方程对于这种零增长稳态的任何偏差都足够小的情况近似正确。显然，由于我们生活在一个趋势增长非常明显的世界中，因此这可能是一个问题-因此，这对您来说是非常有效的关注点。
碰巧的是，我相信当我们围绕具有正趋势生产率增长（但保持零趋势通胀假设）的稳态对数线性化时，这些方程式非常相似。特别是，当在输出间隙并且如加利的等式（10）的自然利率方面所述，跨欧拉方程是完全一样的（虽然说明该稳态自然速率较高，其中是生产率的对数趋势增长率。New Keynesian Phillips曲线有些混乱：在对数首选项情况下 $r^n=\rho+\sigma \psi_{ya}g_a$ $g_a$ $\sigma=1$ ，有几个不错的抵消，我们得到完全相同的NKPC，但是对于其他，未来通货膨胀率的折现率不再是。但是，这更令人烦恼，这就是为什么加利（Galí）出于简单的说明而避免使用它，并坚持使用零增长稳态的原因。 $\sigma$ $\beta$
如上所述，，和都不是任何类型的“标准化输出”。然而，产出缺口加利的公式（7）是有效的标准化日志输出，减去关闭日志“自然输出” ，我们会以灵活的价格世界期待给定对数生产力。从这个意义上讲，模型可以适应生产率的波动；但是如上所述，如果这些波动过大，则零趋势增长附近的对数线性化将开始崩溃，并且如果 $Y$ $Y_t$ $y_t$ $\tilde{y}_t\equiv y_t-y_t^n$ $y_t^n$ $a_t$ 我们必须用另一种形式重写NKPC来解决这个问题。 $\sigma\neq 1$
最后，我对最后一段感到有些困惑，但是您似乎暗示该模型可能具有正增长率，“因为实际利率通常对经济是正利率”。这是一个误解：该模型中的稳态实际利率为正，因为模型中的主体具有纯时间偏好，折现率。如果你看看下面加利方程（10），你看到的时候没有生产力变化的“自然”实际利率为，其中。 $\beta<1$ $r_t^n = \rho$ $\rho=-\log \beta$

— 名义上严格
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你肯定

是

？我以为通常是百分比偏差。

y_{t}

$y_t$

\log Y_{t}

$\log Y_t$

— cc7768

是的，这里加利表示

，不

。在这种情况下，因为他的“的输出自然率”中减去后者将是多余的

无论如何以获得输出间隙

y_{t} = \log Y_{t}

$y_t=\log Y_t$

y_{t} = \log Y_{t} - \log Y

$y_t=\log Y_t-\log Y$

y_{t}^{n}

$y_t^n$

{\tilde{y}}_{t}

$\tilde{y}_t$ 。更一般而言，我已经看到小写字母同时使用了两种方式，有时用于日志，有时用于偏离稳态的日志偏差（当是前者时，通常为后者添加帽子或类似物）。甚至Galí也没有使用一致的约定，尽管在推导其文本第66页上的NK模型时，他说“小写字母表示原始变量的对数”。

— 名义上为刚性的

7

以下文章以一种更简单的方式解释了当我们对模型进行线性化记录时究竟发生了什么。

http://economictheoryblog.com/2012/06/22/latexgx_t/

通过提供的示例，应该可以清楚地知道单个步骤是什么。

— 安德烈亚斯·迪比亚西（Andreas Dibiasi）
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3

全面披露：我没有仔细阅读您提供的讲义，但我想我可以回答您的问题。

编辑：抬起头，通过不仔细阅读问题提供的链接，我错过了一些东西。

标准的新凯恩斯主义模型（例如提出的一个Gali模型）无需增长即可建模。如果写下模型，则可以将其表示为差分方程式：

0 = E_{t} [F (X_{t + 1}, X_{t}, X_{t - 1}, Z_{t})]

$0 = E_t \left[ F(X_{t+1}, X_t, X_{t-1}, Z_{t}) \right]$

$X_t$ $Z_t$ $X_t$ $Z_t = 0$

0 = F (X, X, X, 0)

$0 = F(X, X, X, 0)$

$X$ $\bar{X}$ $Y$

$X_t$

$f(X_t, Y_t) = g(Z_t)$

记录日志
一阶泰勒展开
代数

我们先取日志，

\ln (f (X_{t}, Y_{t})) = \ln (g (Z_{t}))

$\ln(f(X_t, Y_t)) = \ln(g(Z_t))$

如果我们围绕稳态进行一阶泰勒展开，则可以这样写：

\ln (f (X_{t}, Y_{t})) \approx \ln (f (X, Y)) + \frac{f_{x} (X, Y)}{f (X, Y)} (X_{t} - X) + \frac{f_{y} (X, Y)}{f (X, Y)} (Y_{t} - Y)

$\ln(f(X_t, Y_t)) \approx \ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y)$

\ln (g (Z_{t})) \approx \ln (g (Z)) + \frac{g_{z} (Z)}{g (Z)} (Z_{t} - Z)

$\ln(g(Z_t)) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$

因此我们可以这样写：

\ln (f (X, Y)) + \frac{f_{x} (X, Y)}{f (X, Y)} (X_{t} - X) + \frac{f_{y} (X, Y)}{f (X, Y)} (Y_{t} - Y) \approx \ln (g (Z)) + \frac{g_{z} (Z)}{g (Z)} (Z_{t} - Z)

$\ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$

$f(X, Y) = g(Z)$ $\frac{X}{X}$

\frac{X f_{x} (X, Y)}{f (X, Y)} \frac{(X_{t} - X)}{X} + \frac{Y f_{y} (X, Y)}{f (X, Y)} \frac{(Y_{t} - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_{z} (Z)}{g (Z)} \frac{(Z_{t} - Z)}{Z}

$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(X_t - X)}{X} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(Y_t - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \frac{(Z_t - Z)}{Z}$

$\hat{x_t} := \frac{(X_t - X)}{X}$ $\hat{y_t} = \frac{(Y_t - Y)}{Y}$ $\hat{z_t} := \frac{(Z_t - Z)}{Z}$ $X_t$ $X$ $Y_t$ $Z_t$

\frac{X f_{x} (X, Y)}{f (X, Y)} \hat{x_{t}} + \frac{Y f_{y} (X, Y)}{f (X, Y)} \hat{y_{t}} \approx \frac{Z g_{z} (Z)}{g (Z)} \hat{z_{t}}

$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{x_t} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{y_t} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \hat{z_t}$

最后两件事。首先，当我第一次在百分比偏差和真实值之间切换时，有一种微妙之处使我措手不及，您可能需要意识到；通常不为负的值可以为负，因为这仅表示该百分比低于稳态。其次，函数形式通常可以很好地简化它们，就像您在对数线性方程中所看到的那样。

$y_t := \log Y_t$

希望这会有所帮助。

— cc7768
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1

y_{t}

$y_t$

1

c_{t} = \log C_{t}

$c_t = \log C_t$

我认真祝贺您的做法-“对权威的不信任”有时会发掘出宝贵的财富。等待笔和纸的结果（仍然是我的最爱）。

— Alecos Papadopoulos 2014年

不用担心-这两种约定都很常见。我认为货币需求方程不会在任何一个方向上都造成影响，因为将该方程中的术语解释为对数或与稳态的对数偏差是一致的。

— 名义上刚性的

i_{t}

$i_t$

i_{t} = - \log Q_{t}

$i_t=-\log Q_t$

i = ρ

$i=\rho$

ρ

$\rho$

y_{t}

$y_t$