了解随机过程的构造

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我已经看到了以以下方式建模/构造的随机过程。

考虑概率空间并令为（可测量的）变换，我们用它来模拟采样点随时间的演变。同样，令为随机向量。然后，随机过程用于通过公式来观察序列建模或 $(\Omega, \mathcal F, Pr)$ $\mathbb S$ $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ $\omega$ $X$ $X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$ $\{ X_t: t=0,1,...\}$ $X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$ $X_t = X \circ \mathbb S^t.$

我应该如何理解此构造中的采样点和变换？（在某些情况下，会像一系列电击一样吗？） $\omega \in \Omega$ $\mathbb S$ $\omega$

为了更具体，我将如何用该符号编写这两个过程？

流程1： 其中。

\begin{matrix} (1) & X_{t + 1} = ρ X_{t} + ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$

X_{0} = 0

$X_0 = 0$

流程2：

\begin{matrix} (2) & X_{t + 1} = ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$

— 姆贝贾拉
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您描述的这种结构并不完全通用。实际上，它表征了严格固定的时间序列。您会看到它是平移不变的。该运算符本质上是变速运算符。 $S$

为了进行比较，这是离散过程的通常定义：

定义随机过程是概率空间上Borel可测映射的序列。 $\{ X_t \}$ $( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

现在，对于您要描述的内容，您具有固定的 Borel可测量地图。这是根据演变的基本度量。地图上诱导了新的“推进措施”（在衡量论的说法）的只是把原像：定义一个度量通过 $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ $S$ $S$ $\Omega$ $\mu_S$

A \in F \overset{μ_{S}}{\mapsto} P r (S^{- 1} (A)) .

$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$

因此，随机向量在构造上为。他们在上引入相同的前推量度。对每个用执行此操作，您便有了时间序列。 $X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$ $X \circ S$ $\mathbb{R}^n$ $S^t$ $t$

至于您关于的问题，检查另一个方向的证明应明确说明这一点-即，任何严格固定的时间序列都必须对某些，和。 $\omega$ $( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$ $X$ $S$

基本观点是，从一般的角度来看，随机过程是对其可能实现的集合进行概率度量。例如，在维纳（Wiener）的布朗运动构造中就可以看出这一点。他在上构造了一个概率测度。因此，通常，是示例路径，而由所有可能的示例路径组成。 $C[0, \infty)$ $\omega$ $\Omega$

例如，采用上面命名的两个过程。如果说创新是高斯的，它们是严格固定的。（由高斯创新驱动的任何协方差平稳时间序列都是严格固定的。）然后，将开始使用作为所有序列的集合，，由坐标图生成的代数以及适当的措施。对于白噪声过程（2），只是对无限乘积的乘积度量。 $\Omega$ $\mathcal{F}$ $\sigma$ $Pr$ $Pr$

参考在怀特的计量经济学渐近理论中提到了通过严格固定的时间序列的偏移进行的这种表征/构造。

— 麦可
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感谢您的回答和参考。另外，对于这里的回复缓慢也很抱歉。这是有道理的。另外，仅提及一下，根据参考文献（怀特的书），在我看来，这种构造确实允许非平稳过程。防御 3.27定义了变换是保测如果对所有。然后，Prop。3.29说，如果是度量保留，则该过程是固定的。

S

$\mathbb S$

P r (A) = P (S^{- 1} (A))

$Pr(A) = P(\mathbb S^{-1}(A))$

A \in F

$A \in \mathcal F$

S

$\mathbb S$

— jmbejara

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@jmbejara是的，很好。实际上，这是完全通用的-通过选择作为规范路径空间（），这是一个无穷乘积-并且将定义为平移，任何时间序列定律都可以在这样的形式。

Ω

$\Omega$

Π R

$\Pi \mathbb{R}$

S

$S$

— 迈克尔”

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可以考虑是无限维度空间中的一个点的情况，例如冲击序列，但是这种解释将毫无用处，因为与在过滤概率空间上直接指定过程相比，您将得到简化，而仅产生了多余的实体，使事情复杂化 $\omega$

该方法更适合于有限维空间中的点的应用。然后，通过这种方法，您将构造时间齐次的马尔可夫过程，并且应该被解释为状态空间中的一个点，例如过程的当前位置或最后几个位置。关于S的解释的考虑应推迟到讨论示例之前。 $\omega$

因此，假定是问题中定义的概率空间上随机变量的iid序列。然后可以将第二个过程定义如下： $\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$ 高索引在这里表示操作员的多次应用。

第一个示例是第一个示例的详细说明：

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$ 这里的下标表示相应矢量的各个分量。

如我们所见，运算S本身是模棱两可的，很难合理地解释。但是，要注意的一点是，它定义了保留度量的变换，并在其下拍摄图像会产生具有相同度量的集合。因此，该函数可以及时地在我们的状态空间上进行动态测量。

— 尼基塔（Nikita Toropov）
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他只是认为是确定性的，而是不可观察的。然后，我们观察到是有关的不完整信息的一种形式。和然后帮助我们推断的联合概率分布。 $\mathbb{S}$ $\omega$ $X(\omega)$ $\omega$ $\mathbb{S}$ $X$ $\{X_t\}_{t=0}^\infty$

— 帕特·W。
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