复制状态空间模型

我试图复制Cochrane，1998的结果。本文的大部分内容仅仅是描述价格水平的财政理论背后的理论。但是从p。42他开始计量经济学方面。

Cochrane使用无摩擦模型，因此政府的流量预算约束可以写成：

$v_{t} = \frac{1}{r_{t+1}}(s_{t+1} + v_{t+1})$（1）

其中即，在发行并在成熟的债券的实际价值。是真正的主要盈余，是政府债券的实际回报率。吨-1吨小号吨ř$v_{t} = \frac{B_{t-1}(t)}{p_{t}}$$t-1$$t$$s_{t}$$r_{t}$

出于理论原因，他通过消耗（而不是输出）来缩小变量，并将流量约束写为：

β=$\frac{v_{t}}{c_{t}} = \frac{1}{r_{t+1}}\frac{c_{t+1}}{c_{t}} (\frac{s_{t+1}}{c_{t+1}} + \frac{v_{t+1}}{c_{t+1}})$。如果我们定义，则可以向前迭代流约束并表示为：$\beta = \frac{1}{r_{t+1}} \frac{c_{t+1}}{c_{t}}$

$vc_{t} = E_{t} \sum_{j=1}^{\infty} \beta^{j} sc_{t+j}$（2）

请注意，和 只是 和。这是我的第一个混乱来源：他为什么减去每个系列的均值？我知道这是“与平均值的偏差”但是，即使不减去均值，流量约束肯定会向前迭代？小号Ç 吨 v Ç 吨 = v $vc_{t}$$sc_{t}$sct=s$vc_{t} = \frac{v_{t}}{c_{t}} - E(\frac{v_{t}}{c_{t}})$$sc_{t} = \frac{s_{t}}{c_{t}} - E(\frac{s_{t}}{c_{t}})$

财政理论的一个关键方面是主要盈余是外生的。因此，Cochrane定义如下：

$sc_{t} = a_{t} + z_{t}$（3）其中

$a_{t} = \phi_{a}a_{t-1} + \epsilon_{at}$

$z_{t} = \phi_{z} z_{t-1} + \epsilon_{zt}$

请注意，和是未观察到的变量。$a_{t}$$z_{t}$

将其代入等式（2），我们发现：

$vc_{t} = \frac{\beta \phi_{a}}{1 - \beta \phi_{a}} a_{t} + \frac{\beta \phi_{z}}{1 - \beta \phi_{z}} z_{t}$（4）

因此，等式（3）和（4）用未观察到的变量（a，z）描述观察到的变量（sc，vc）。我们可以把它放在状态空间中：

设是观测变量的向量，让成为未观测变量的向量。然后系统可以表示为：$Y_{t} = (sc_{t}, vc_{t})'$$X_{t} = (a_{t},z_{t})'$

$Y_{t} = BX_{t}$和其中$X_{t} = AX_{t-1} + \epsilon_{t}$

$B =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \frac{\beta \phi_{a}}{1 - \beta \phi_{a}}& \frac{\beta \phi_{z}}{1 - \beta \phi_{z}} \end{bmatrix}$，， $A = \begin{bmatrix} \phi_{a} & 0 \\ 0& \phi_{z} \end{bmatrix}$$\epsilon_{t} = (\epsilon_{at}, \epsilon_{zt})'$

这可以表示为

$Y_{t} = B(AX_{t-1} + \epsilon_{t}) =BA \underbrace{B^{-1}Y_{t-1}}_{\text{$X_{t-1}$}} + \underbrace{e_{t}}_{\text{$B\epsilon_{t}$}}$（5）

因此（5）是可以估计的简化形式方程。我已经估计了模型并获得了和以及缩减形式的协方差矩阵，我可以从中推断出“结构”协方差矩阵。您可以在第43页找到Cochrane的结果。$\phi_{a}$$\phi_{z}$

接下来的部分是我非常困惑的地方，他说：

政府选择债务使通货膨胀成为两个国家变量z，a的函数

$dp_{t} = \Delta ln(p_{t}) - E(\Delta ln(p_{t})) = [\alpha_{a} \quad \alpha_{z}] [a_{t} \quad z_{t}]'$（6）

这是结构模型。Cochrane然后说

我选择参数这样$\alpha$

$dp_{t} = [1 \quad -0.21] [sc_{t} \quad vc_{t}]'$

最后，他继续模拟这个模型。我可以跟进，直到他介绍价格水平（）。我的两个问题是：$dp_{t}$

1. 为什么我需要从两个系列中减去均值？即为什么甚至引入和而不仅仅是坚持使用和。我如何实际计算这些值？我应该简单地从每次观察中减去样本均值吗？小号Ç 吨 v 吨小号$vc_{t}$$sc_{t}$$v_{t}$$s_{t}$

2. 我不明白如何将价格水平纳入模型。我有点理解结构模型，等式（6）。但是如何使用它来进行模拟呢？我能够找到AR（1）系数和结构协方差矩阵。但是我如何使用这些来模拟Cochrane做的模型。

我为这篇长篇文章道歉，如果你想了解更多信息我建议p.42-46来自论文。

任何反馈将不胜感激。