Anscombe-Aumann的哪个公理暗示着Sure-Thing原理？

考虑Anscombe-Aumann的设置，并假设偏好关系满足所有原始Anscombe-Aumann的公理（合理性，连续性，独立性和单调性）。

如果我们将注意力集中在纯赛马上（也就是说，行为没有任何客观的不确定性），则Anscombe-Aumann模型可以归结为“主观预期效用”表示的“野蛮人”。因此，在纯粹的赛马比赛中，决策者满足了Savage的所有公理，尤其是Sure-Thing Principle（Savage术语中的P2）。

我看不到Anscombe-Aumann的公理与Sure-Thing原则之间的直接联系。有谁看到安斯科姆·奥曼公理如何暗示肯定原则？特别是，它是仅由独立引起的，还是需要独立性和单调性？

decision-theory

— 杜仲
source

首先要说明的是：Anscombe-Aumann公理，特别是Independence，是根据将状态空间带到线性空间的行为（通常是对消费对象的简单抽奖）定义的。即使当我们考虑将模型限制为纯粹主观不确定的行为时，我们仍然需要使用完整模型，否则我们将丢失信息。

话虽这么说：让为一个有限的状态空间，让一个有限的选择集。令表示和所有彩票是一个动作。对于事件，让是由下式定义的行为 $S$ $X$ $\Delta(X)$ $X$ $f: S \to \Delta(X)$ $E \subseteq S$ $f_{-E}g$

f_{- E} g {\begin{cases} f (s) if x \in E \\ g (s) if x \notin E . \end{cases}

$f_{-E}g \begin{cases} f(s) \text{ if } x \in E \\ g(s) \text{ if } x \notin E. \end{cases}$

现在，我们可以说，我们的模型满足确定的事情原理，如果和然后此定义适用于所有行为，不仅适用于没有客观风险的行为，而且显然您可以仅考虑相关的预测。 $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$ $f \succsim g.$

假设STP的前身。从和独立，我们有 $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ 注意，我们可以将其重写为

\frac{1}{2} f_{- E} h + \frac{1}{2} f_{- E^{c}} h ≿ \frac{1}{2} g_{- E} h + \frac{1}{2} f_{- E^{c}} h .

$\frac12 f_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h \succsim \frac12 g_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h.$

，并再次将独立，我们得到

\frac{1}{2} f + \frac{1}{2} h ≿ \frac{1}{2} g_{- E} f + \frac{1}{2} h

$\frac12 f + \frac12 h \succsim \frac12 g_{-E}f + \frac12h$

\begin{matrix} (1) & f ≿ g_{- E} f . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{1} f \succsim g_{-E}f. \end{equation}$

$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

\frac{1}{2} f_{- E^{c}} h + \frac{1}{2} g_{- E} h ≿ \frac{1}{2} g_{- E^{c}} h + \frac{1}{2} g_{- E} h .

$\frac12 f_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h \succsim \frac12 g_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h.$

\frac{1}{2} g_{- E} f + \frac{1}{2} h ≿ \frac{1}{2} g + \frac{1}{2} h

$\frac12 g_{-E}f + \frac12 h \succsim \frac12 g + \frac12h$

\begin{matrix} (2) & g_{- E} f ≿ g . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{2} g_{-E}f \succsim g. \end{equation}$

$f$ $g$ $h$

注意仅使用了独立性和可传递性。这应该表明，即使是依赖状态的EU（单调性/状态独立性失败的国家）或Bewley EU（完整性得到放宽的欧盟）仍将满足STP。

$f_{-E}h \succsim g_{-E}h \iff f_{-E}h' \succsim g_{-E}h'$ $f,g,h,h'$ $\succsim$

$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

f = f_{- E} f ≿ g_{- E} f and g_{- E} f = f_{- E^{c}} g ≿ g .

$f = f_{-E}f \succsim g_{-E}f \qquad \text{ and } \qquad g_{-E}f = f_{-E^c}g \succsim g.$

f ≿ g

$f \succsim g$

$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ $\hat f = f_{-E}h'$ $\hat g$ 所以我们的假设是相同的是

{\hat{f}}_{- E} h = f_{- E} h and {\hat{g}}_{- E} h = g_{- E} h,

$\hat f_{-E}h = f_{-E}h \qquad \text{ and } \qquad \hat g_{-E}h = g_{-E}h,$

\begin{matrix} (3) & {\hat{f}}_{- E} h ≿ {\hat{g}}_{- E} h . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{3} \hat f_{-E}h \succsim \hat g_{-E}h. \end{equation}$

{\hat{f}}_{- E^{c}} h = {\hat{g}}_{- E^{c}} h = h_{- E}^{'} h

$\hat f_{-E^c}h = \hat g_{-E^c}h = h'_{-E}h$

\begin{matrix} (4) & {\hat{f}}_{- E^{c}} h ≿ {\hat{g}}_{- E^{c}} h . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{4} \hat f_{-E^c}h \succsim \hat g_{-E^c}h. \end{equation}$

\hat{f} ≿ \hat{g}

$\hat f \succsim \hat g$

— 201P
source

（+1）一个问题：已经显示出STP要求行为不影响事件的概率，否则可能不成立。AA框架是否涵盖/保证了这一点？

— Alecos Papadopoulos '18年

f_{E} h ⪰ g_{E} h \Leftrightarrow f_{E} h^{'} ⪰ g_{E} h^{'}

$f_{E}h \succeq g_{E}h \Leftrightarrow f_{E}h' \succeq g_{E}h'$

@AlecosPapadopoulos是不是要求概率独立于行为的公理P4（而不是P2）？否则，您是否有参考资料？

— 奥利夫

@Oliv当然，请检查ftp.cs.ucla.edu/pub/stat_ser/r466.pdf及其中的文献。

— Alecos Papadopoulos '18年

@AlecosPapadopoulos非常感谢，这非常有用。

— 奥利夫