奥斯本，纳什均衡和信仰的正确性

在奥斯本的“博弈论概论”中，纳什均衡描述如下（第21-22页）：

首先，每个玩家根据理性选择的模型选择她的行动，因为她对其他玩家的行为有所信仰。其次，每个玩家对其他玩家行为的信念都是正确的。

在我看来，这个定义并不完全等同于纳什均衡的通常定义，作为一种战略形象，其中每个玩家的战略是对其他战略的最佳反应。

通常的定义没有说明信仰，因此允许信念可能不正确。

要琐碎的可能性，请考虑囚徒的困境。假设每个玩家都认为其他玩家不会承认。由于忏悔是一种主导策略，每个玩家仍然会承认。因此，即使玩家的信念完全与实际的均衡行为相反，这些行为构成了纳什均衡。

我是否正确地理解奥斯本的定义是否与纳什的均衡有关？

在这里引入信仰语言有点奇怪，因为信念在博弈论的其他部分确实具有非常特殊的含义。

事实上，奥斯本的描述让人联想到贝叶斯纳什均衡。我们可以介绍信仰的概念变成一个完全信息博弈的正常形式如下：假设的概率每个球员，我是一个“战略性” 类型谁将会根据（纳什）均衡发挥，并以概率1 - 一个我，他会随机均匀选择一些策略（因为，说，他是在所有的行动无所谓）。因此，我们有一个贝叶斯游戏，思考信仰更自然。$a_i$$i$$1-a_i$

贝叶斯纳什解决方案的概念然后说，的策略必须是最佳的，因为其他玩家的策略引起的预期游戏以及{ a j } j ≠ i暗示的类型的信念。如果我们将极限看作所有i 的i → 1，那么这个游戏的贝叶斯纳什均衡将与奥斯本描述的解决方案概念一致。$i$$\{a_j\}_{j\neq i}$$a_i\rightarrow 1$$i$

我猜奥斯本这样写它的原因是一个教学法，因为这是一个介绍性的文本。当我们向学生介绍静态游戏时，我们告诉他们玩家最能回应其他玩家的行为。学生们自然想知道“他们如何能够在不知道策略是什么的情况下同时选择一个策略？” 从许多方面来说，这是一个哲学问题。常见的答案是$i$

• 如果游戏是经常玩的游戏（抛开可以在重复游戏中维持的其他结果的问题），我们可以认为纳什是一种均衡，即如果我们在那里融合，我们就可以形成一种规范，让人们继续无限期地发挥这种平衡（并期望其他人也这样做）。
• 如果游戏真的是一次性的，那么我们通常会调用玩家将试图预测别人会做什么的想法 - 我们的均衡概念嵌入了这些预测必须正确的观点。

似乎第二点的预测与奥斯本引用的“信念”相对应。然而，重要的是要强调这些预测/“信念”仅仅是一种非正式/直观的工具，可以帮助我们概念化均衡中发生的事情，而不是这种均衡定义的一部分。纳什均衡的概念本身对于信念的概念是完全不可知的（正如你在评论中指出的那样，它只是在行动上定义），这就是为什么当奥斯本继续正式定义纳什均衡时，他这样做而不调用信仰的想法。

引入信念使得NE的概念与PBE和顺序均衡等其他细化概念相当，但NE的含义没有改变。

Mas-Colell，Whinston和Green（MWG）的研究生微型教科书就是这样的结果

命题9.C.1。甲策略简档是一个广泛的形式游戏的纳什均衡Γ È当且仅当存在信仰体系μ，使得$\sigma$$\Gamma_E$$\mu$

1. 在所有信息集H处，给定置信系统μ使得策略简档顺序合理，使得 Pr （H | σ ）> 0。$\sigma$$\mu$ $H$$\Pr(H|\sigma)>0$
2. 信仰系统尽可能通过贝叶斯规则从战略概况。$\mu$$\sigma$

因此，你给出了囚徒困境的例子，即玩家的信念与对手的实际策略不符合第二个条件，这要求信念尽可能从贝叶斯的规则中得出。事实上，这是奥斯本定义的第二个要求的数学等价物：玩家对其他玩家行为的信念是正确的。

你的囚徒困境的例子才有效，因为这是一个具有主导策略的游戏。奥斯本是正确的。

为了最好地回应其他玩家的策略，就像你给出的定义一样，我必须知道他们的策略。换句话说，我必须相信他们正在做的事情，这些信念必须是正确的。这是对可合理性概念的强化。

（σ ，μ 2$(\sigma,\mu_1)$$(\sigma,\mu_2)$$\mu_2$$\sigma\in \Sigma$$\sigma_i\in B_i(\sigma_{-i})$......“我认为这意味着定义信念是不必要的，因为信念正是对策略概况的正确评估。参考，我的一本书，它给出了Nash（1950）引用的通常定义，以及然后继续讨论两个基本假设：一个是正确的信念，另一个是理性的假设。

我可能会重复以前说过的话，但这是我对此的看法。

我认为在比较两种不同的模型时我们会遇到一个常见问题。“等价”意味着什么并不完全明显，因为这两个定义存在于不同的世界或不同的模型中。但是，如果“等价”被正确定义，我认为人们可以理解奥斯本的定义，并表明它确实与NE相当。

引用部分的解决方案概念如下所示：

$s^*$$b^*$$i$

$$u_i ( s^*_i ~|~ s_{-i} = b^*_{i}) \geq u_i ( s' ~|~ s_{-i} = b^*_{i}) \text{ for all } s' \in S_i$$ $$b^*_i = s^*_{-i}$$

$\Leftrightarrow$

$\Rightarrow$

$p$

$\Rightarrow$

这是棘手的部分。“每个NE都是BE”是什么意思？当然不是“NE和任何信仰概况都是BE”，正如OP在他的反例中所表明的那样。然而，情况是“任何NE都可以成为某些信仰概况的BE ”。我认为从这个意义上说，人们应该理解奥斯本的“等同”主张

请注意，我们还有以下更多“等效”声明：“ 当且仅当它是BE结果时，游戏的结果才是NE结果”。