表明股息价格比率是ARMA（p，q）过程

让根据日志股息增长演变 $\Delta d_{t+1} = \epsilon_{d, t+1}$ 其中 $\epsilon_{d, t+1}$ 是只是白噪声。让数收益是 $r_{t+1} = x_t + y_t + \epsilon_{r, t+1}$ ，其中 $x_t = b_x x_{t-1} + \delta_{x, t}$ 和 $y_t = b_y y_{t-1} + \delta_{y, t}$ 和，，和 $\epsilon_{r, t+1}$ $\delta_{x, t}$ $\delta_{y, t}$ 都是白噪声。求解股息价格比率 $d_t - p_t$ 并表明它是 $ARMA(p, q)$ 过程，找到 $p$ 和 $q$ 。

我所做的是用著名的坎贝尔希勒分解开始：和一个可以很容易地显示和因此我们得到 $d_t - p_t = E_t \sum_{j=1}^{\infty} \rho^{j-1}(r_{t+j} - \Delta d_{t+j})$ $E_t(r_{t+j}) = b_x^{j-1} x_t + b_y^{j-1} y_t$ $E_t(\Delta d_{t+j}) = 0$

d_{t} - p_{t} = \frac{x_{t}}{1 - ρ b_{x}} + \frac{y_{t}}{1 - ρ b_{y}}

$d_t-p_t = \frac{x_t}{1-\rho b_x} + \frac{y_t}{1-\rho b_y}$

我现在坚持试图表明这是一个ARMA（p，q）过程。我试过的是在和以获得： $x_t$ $y_t$

d_{t} - p_{t} = b_{x} \frac{x_{t - 1}}{1 - ρ b_{x}} + b_{y} \frac{y_{t - 1}}{1 - ρ b_{y}} + \frac{δ_{x, t}}{1 - ρ b_{x}} + \frac{δ_{y, t}}{1 - ρ b_{y}}

$d_t - p_t = b_x \frac{x_{t-1}}{1-\rho b_x} + b_y \frac{y_{t-1}}{1-\rho b_y}+ \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y}$

但我坚持操纵RHS形成一个，具体来说，我知道但是RHS上的系数和使事情变得困难。 $d_{t-1} - p_{t-1}$ $d_{t-1}-p_{t-1} = \frac{x_{t-1}}{1-\rho b_x} + \frac{y_{t-1}}{1-\rho b_y}$ $b_x$ $b_y$

编辑：我做了一些更多的工作，这就是我所做的：

\begin{aligned} d_{t} - p_{t} & = \frac{x_{t}}{1 - ρ b_{x}} + \frac{y_{t}}{1 - ρ b_{y}} \\ = \frac{b_{x} x_{t - 1} + δ_{x, t}}{1 - ρ b_{x}} + \frac{b_{y} y_{t - 1} + δ_{y, t}}{1 - ρ b_{y}} \\ = b_{x} \frac{x_{t - 1}}{1 - ρ b_{x}} + b_{y} \frac{y_{t - 1}}{1 - ρ b_{y}} + \frac{δ_{x, t}}{1 - ρ b_{x}} + \frac{δ_{y, t}}{1 - ρ b_{y}} \\ = b_{x} (d_{t - 1} - p_{t - 1} - \frac{y_{t - 1}}{1 - ρ b_{y}}) + b_{y} (d_{t - 1} - p_{t - 1} - \frac{x_{t - 1}}{1 - ρ b_{x}}) + \frac{δ_{x, t}}{1 - ρ b_{x}} + \frac{δ_{y, t}}{1 - ρ b_{y}} \\ = (b_{x} + b_{y}) (d_{t - 1} - p_{t - 1}) - b_{x} (\frac{b_{y} y_{t - 2} + δ_{y, t - 1}}{1 - ρ b_{y}}) - b_{y} (\frac{b_{x} x_{t - 2} + δ_{x, t - 1}}{1 - ρ b_{x}}) + \frac{δ_{x, t}}{1 - ρ b_{x}} + \frac{δ_{y, t}}{1 - ρ b_{y}} \\ = (b_{x} + b_{y}) (d_{t - 1} - p_{t - 1}) - b_{x} b_{y} (\frac{x_{t - 2}}{1 - ρ b_{x}} + \frac{y_{t - 2}}{1 - ρ b_{y}}) - b_{x} \frac{δ_{y, t - 1}}{1 - ρ b_{y}} - b_{y} \frac{δ_{x, t - 1}}{1 - ρ b_{x}} + \frac{δ_{x, t}}{1 - ρ b_{x}} + \frac{δ_{y, t}}{1 - ρ b_{y}} \\ = (b_{x} + b_{y}) (d_{t - 1} - p_{t - 1}) - b_{x} b_{y} (d_{t - 2} - p_{t - 2}) - b_{x} \frac{δ_{y, t - 1}}{1 - ρ b_{y}} - b_{y} \frac{δ_{x, t - 1}}{1 - ρ b_{x}} + \frac{δ_{x, t}}{1 - ρ b_{x}} + \frac{δ_{y, t}}{1 - ρ b_{y}} \end{aligned}

$\begin{align*} d_t - p_t & = \frac{x_t}{1-\rho b_x} + \frac{y_t}{1-\rho b_y} \\ & = \frac{b_x x_{t-1} + \delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{b_y y_{t-1} + \delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \\ & = b_x \frac{x_{t-1}}{1-\rho b_x} + b_y \frac{y_{t-1}}{1-\rho b_y} + \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \\ & = b_x\left(d_{t-1} - p_{t-1} - \frac{y_{t-1}}{1-\rho b_y} \right) + b_y\left(d_{t-1} - p_{t-1} - \frac{x_{t-1}}{1-\rho b_x} \right)+ \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \\ & = (b_x + b_y)(d_{t-1} - p_{t-1})-b_x\left(\frac{b_y y_{t-2} + \delta_{y, t-1}}{1-\rho b_y} \right)-b_y\left(\frac{b_x x_{t-2} + \delta_{x, t-1}}{1-\rho b_x} \right) + \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \\ & = (b_x + b_y)(d_{t-1} - p_{t-1}) - b_xb_y\left(\frac{x_{t-2}}{1-\rho b_x} + \frac{y_{t-2}}{1-\rho b_y} \right) - b_x \frac{\delta_{y, t-1}}{1-\rho b_y}- b_y \frac{\delta_{x, t-1}}{1-\rho b_x}+ \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \\ & = (b_x + b_y)(d_{t-1} - p_{t-1}) - b_xb_y(d_{t-2} - p_{t-2}) - b_x \frac{\delta_{y, t-1}}{1-\rho b_y}- b_y \frac{\delta_{x, t-1}}{1-\rho b_x}+ \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y} \end{align*}$

所以似乎有两个滞后，但我不确定如何操纵移动平均线...... $d_t-p_t$

— elbarto
source

嗨：我不知道你在哪里得到的表达式 $d_{t-1} - p_{t-1}$ 但假设这是真的，那么我认为你基本上就在那里。最后表达并首先考虑两个滞后的白噪声项。它们可以加在一起形成一个滞后的白噪声项，因为我很确定两个白噪声过程的总和仍然是白噪声。类似地，可以添加两个非滞后白噪声项以产生一个非滞后白噪声项。所以，你最终得到一个MA（1）所以整个表达式是ARMA（2,1）。当然，MA（1）部分在滞后和非滞后项上都会有一些复杂的常系数，但它们并不是非常重要。此外，您始终可以进行标准化，以使MA（1）件的非滞后系数为1.0。如果你或任何人认为这种推理有缺陷，请告诉我，因为我没有看到它的缺陷而且全是耳朵。谢谢。

$\boldsymbol{EDIT}$

Elbarto：在过去的5到6年里，我已经处理了ARIMA模型，所以这让我很烦，所以我坚持下去。事实证明（在最初可能存在于我的潜意识中的许多读数之后），原始表达式的最后4个术语确实代表MA（1）过程。我犯的错误是我的论点是错误的。以下是文献中使用的论证，用于说明任何ARIMA类型“过程”减少的过程。

1）在过程的每个滞后处构建自相关。

2）如果该计算得到的函数形式与一些众所周知的ARIMA模型的行为方式相同（就形状而言），则原始未知过程等同于众所周知的过程。

不幸的是，我们无法推导出使用您的方法的过程更为直接，而且对我来说更直观。上面的1）和2）论证源于这样的事实：任何静态和可逆ARIMA模型在模型参数和模型自相关之间具有1对1的映射。因此，如果您知道自相关形状，则您知道该过程。我不确定是否需要定理的静止部分，事实上，我甚至不知道它是否是一个实际的定理。我只是把它看作一个定理，但它确实如此。这个论点的最好类比是了解DSP框架中的脉冲响应。不过，对于直觉，我更喜欢你的方法。

因此，总而言之，使用这种方法，将这4个术语作为一些未知的ARIMA过程并计算其自相关性。由于该过程在滞后1和零之后明显具有非零自相关，因此它是MA（1）过程。这是文献中使用的泛型论证的一个特例，但鉴于你的方法看起来也很合理，它有点令人不满意。我的想法是，一对一的映射定理必须等同于你（我后来）试图做的事情。

最后，如果你想被打扰（我不想这样），你可以计算出这4个过程的自相关性。这将是三个参数的一些功能。然后设置该函数等于并希望（它看起来很丑陋，我可能会在某处犯错，即使我可能会被打扰）解决。这意味着四项过程是带参数的MA（1）。无论如何，计算它的有用之处在于你将作为其他参数的一些函数：，和。 $\frac{\theta}{(1+\theta^2)}$ $\theta$ $\theta$ $\theta$ $b_{x}$ $b_{y}$ $\rho$

有了这一点，关于什么代数论证会显示同样的事情可能会变得更清楚了？我们必须以一种我看不到的错误方式来思考它（可能是缩放规范化问题？）。

我现在相当满意，如果你不能打扰，我理解。一切顺利，感谢整洁的问题。我从谷歌和谷歌搜索过程中学到了一些东西。

$\boldsymbol{Last~~ Comment}$

埃尔巴托：最后一件事。请记住，相同的autocorrleation参数可能已用于包含AR（2）术语的完整表达式。我不知道它有多难，但它不像MA（1）那么容易，因为现在ACF缓慢消失或根据根部振荡。事实上，我敢打赌，直接展示AR（2）将会比你做的工作要多得多，所以不值得追求。

— 马克利兹
source

@elbarto：我现在看到你得到了的表达式，我相信你对campbell-shiller的分解关系。很好的推导。

d_{t - 1} - p_{t - 1}

$d_{t-1} - p_{t-1}$

— 标记利兹

@Alberto：在OD Anderson的文本“时间序列分析和预测”中，显示两个AR（1）过程的总和是ARMA（2,1），（我没有仔细阅读，但有一些条件这需要得到满足）这让我更有信心你所做的是正确的。一切顺利，感谢有趣的问题。

— 标记利兹

感谢那！我将看看你提供的参考资料。我可以看到我几乎在那里，但困难的部分是定义白噪声术语。假设我让MA（1）部分为，这不太有效，因为它意味着但是上面的和的系数破坏了东西......我的直觉是但我似乎无法找到定义什么。

ε_{t} = \frac{δ_{x, t}}{1 - ρ b_{x}} + \frac{δ_{y, t}}{1 - ρ b_{y}}

$\varepsilon_t = \frac{\delta_{x, t}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t}}{1-\rho b_y}$

ε_{t - 1} = \frac{δ_{x, t - 1}}{1 - ρ b_{x}} + \frac{δ_{y, t - 1}}{1 - ρ b_{y}}

$\varepsilon_{t-1} = \frac{\delta_{x, t-1}}{1-\rho b_x} + \frac{\delta_{y, t-1}}{1-\rho b_y}$

- b_{x}

$-b_x$

- b_{y}

$-b_y$

q = 1

$q = 1$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

— elbarto

我似乎无法找到您引用的Anderson文本，您认为可以提供一些有关它如何被证明的见解吗？在我的例子中，我基本上只有两个AR（1）的线性组合，例如，，其中和是常量。

C_{1} x_{t} + C_{2} y_{t}

$C_1x_t + C_2y_t$

C_{1} = \frac{1}{1 - ρ b_{x}}

$C_1=\frac{1}{1-\rho b_x}$

C_{2} = \frac{1}{1 - ρ b_{y}}

$C_2=\frac{1}{1-\rho b_y}$

— elbarto

Elbarto：我已经放弃了试图找到唯一性理论但我确实注意到我在计算滞后1处的MA（1）的自相关时犯了一个错误。分母应该是而不是。我希望不会搞乱你已经做过的事情。如果确实如此，那么我道歉。我在答案中做了修正。

1 + θ^{2}

$1 + \theta^2$

1 + θ

$1 + \theta$

— 标记利兹