效用函数生成需求曲线，该曲线具有U形MR曲线

他提出的解决方案涉及一条倾斜下来，然后上下然后下降的MR曲线。用于生成这样的MR的需求曲线（例如）的等式是（参见他的答案下面的评论）。 $P(q)=1−q+3q^2−3q^3$

我的问题是：

是否存在可以生成需求曲线的效用函数，例如呈U形的MR？

注意：我不是在寻找能够复制Ubiquitous MR的效用函数。

microeconomics

— 埃里克
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设。准线性效用函数生成由普遍存在的逆需求曲线，如果收入足够大且，则为因此，它也将导致相同的为。 $v(x) = \int 1 − x + 3x^2 − 3x^3 \text{d}x$

ü （ X ， ÿ ） = v （ X ） + ÿ

$U(x,y) = v(x) + y$

I

$I$

p_{y} = 1

$p_y = 1$

\begin{aligned} | 中号 [R 小号 （ X ， ÿ ） | & = p_{X} \\ v^{“} （ X ） & = p_{X} \\ 1 - X + 3 X^{2} - 3 X^{3} & = p_{X} 。 \end{aligned}

$\begin{align*} |MRS(x,y)| & = p_x \\ \\ v'(x) & = p_x \\ \\ 1 − x + 3x^2 − 3x^3 & = p_x. \end{align*}$

M R

$MR$

x

$x$

Ps：我没有检查是否是凸的，所以这里可能需要检查二阶条件。注意，不需要在任何地方凸起，只在的U形上方。在其他任何地方，它都可以根据我们的需要进行更改。 $U(x,y)$ $U(x,y)$ $MR$

— Giskard
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@ Denesp：谢谢你的回答。根据我对区间（0,8）的计算，如果则。这意味着收入为，暗示MR = 16，为常数。所以MR在这里不是U形，是吗？

Q = \frac{32}{16 - p}

$Q = \frac{32}{16-p}$

P = 16 - \frac{32}{Q}

$P = 16 - \frac{32}{Q}$

P Q = 16 Q - 32

$PQ = 16Q-32$

— erik

你确实是对的。我的猜测是，通过稍微调整效用函数，从不断增加变得不会非常困难，但我忘了你想要一个U形，而不是倒U形。

— Giskard

@erik我编辑了我的答案。

— Giskard

@ denesp：你的解决方案非常好。我觉得我应该想到它。而且你的功能没有任何凸性问题。我会张贴一张照片。谢谢。

— erik

这是@denesp在上面的回答中给出的效用函数。它在的范围内没有任何凸性问题，这是MR将具有U形的范围。 $0<x<0.3$

功能：

— 埃里克
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