被“

对于连续可微的产品$f(k,l)$，是这样的命题

“ $f(k,l)$在减少返回至比例$\Leftrightarrow f_{ll}f_{kk}-f_{kl}^2>0$ ”

总是如此，我已经检查了Cobb-Douglas的功能，并相信它也适用于所有Constant-Elasticity功能，有人可以给我一些提示或展示一些反例吗？

这里我们将$f(k,l)$定义为如果对于域中的所有（k ，l ），对于t > 1，$f(tk,tl)<tf(k,l)$，则返回到规模。$t>1$$(k,l)$

一般来说，陈述是错误的。这是一个反例：

假设你$f(k,l) = -k l^\beta$与$\beta >0$和$(k,l)\in\mathbb{R}^2_{++}$（可以解释$f$作为用于“生产函数坏 ”商品）。然后，你必须：

$$f(tk,tl) = - t^{1+\beta} k l^\beta = t^{1+\beta} f(k,l) < t f(k,l)$$ ，使得$f(k,l)$被规模报酬递减。

现在让我们评估$f_{ll}f_{kk} - f^2_{kl}$。由于$f$是线性$k$我们有$f_{kk}$是零，所以它是$f_{ll}f_{kk}$。在另一方面，我们已$f_{kl} = -\beta l^{\beta-1}$，使得整体，我们有：

$$\begin{equation} f_{ll}f_{kk} - f^2_{kl} = 0 - \left[ -\beta l^{\beta-1} \right]^2 = - \beta^2 l^{2(\beta -1)} <0 \end{equation}$$

那么，诀窍在哪里？

事实是$f_{ll}f_{kk} - f^2_{kl} > 0$并不足以断定$f(k,l)$的粗糙度是负半定的，因此$f$是凹的，因为你还必须强加对粗糙矩阵的1阶主要次要符号的限制。

然而，如果粗糙矩阵确实是负半定义而不是你得出结论$f$是凹的并且随后将按比例递减递减，那么该陈述就成立了。

我们检验了函数$F(K,L)$，它是$\lambda < 1$齐次。然后我们得到它的偏导数是$\lambda -1$齐次。

对于度数为λ的齐次函数$F(K,L)$，它保持不变$\lambda$

$$K\cdot F_K + L\cdot F_L = \lambda \cdot F(K,L) \tag{1}$$

类似于我们的偏导数

$$F_L:\;K\cdot F_{LK} + L\cdot F_{LL} = (\lambda -1)F_L <0 \implies K\cdot F_{LK} < -L\cdot F_{LL} \tag{2}$$

和

$$F_K: L\cdot F_{KL} + K\cdot F_{KK} = (\lambda -1)F_K <0 \implies L\cdot F_{KL} < -K\cdot F_{KK} \tag{3}$$

如果交叉部分是非负的，那么第二部分必然是负的，并且上述不等式中的两边都是正的。然后我们每边都有乘法

$$K\cdot F_{LK} \cdot L\cdot F_{KL} < L\cdot (-F_{LL}) \cdot K\cdot (-F_{KK})$$

$$\implies F_{KK}\cdot F_{LL} > F^2_{KL}$$

因此，对于表现出递减规模收益的两个变量中的生产函数的（联合）凹度的充分条件是交叉偏导数是非负的。

注意，这种与交叉部分相关的充分条件也保证了关节凹度的“第一步”，即二阶部分是负的（它们单独提供生产函数的部分凹度）。

$f$$f$