用共同的信念来理解常识（Monderer和Samet，1989）

我试图理解Monderer和Samet 1989年关于近似常识的论文。

我陷入了“同意不同意”定理A的证据的最后部分，其中后验的上界已经建立。下限似乎很清楚，但我无法理解其中一个术语是如何写成的（1-p）。我粘贴了我丢失的部分下面的图片：

建立r_i上限的最后一行对我来说不清楚。任何帮助将不胜感激。该论文的链接是：

https://ie.technion.ac.il/~dov/cpb_monderer_samet.pdf

（定理A在第180-181页）

显示左手不等式

让我们重新排列方程， $$ \ {开始对齐*} x＆amp; = r_i \ frac {\ mu \ left（B ^ p_i \ left（E \ right）\ right）} {\ mu \ left（E \ right）} - \ frac {\ mu \ left（X \ cap） \ left [B ^ p_i \ left（E \ right）\ setminus E \ right] \ right）} {\ mu \ left（E \ right）} \\ ＆安培; \ iff \ underbrace {x \ mu \ left（E \ right）+ \ mu \ left（X \ cap \ left [B ^ p_i \ left（E \ right）\ setminus E \ right] \ right）} _ {\ text {LHS}} = r_i \ mu \ left（B ^ p_i \ left（E \ right）\ right）。 \ {端对齐*} $$ 自从所有条款开始 $ \ {文字LHS} $ 是弱阳性，我们可以省略 $ \ mu（X \ cap [B ^ p_i（E）\ setminus E]）$ 从 $ \ {文字LHS} $ 给予 $$ x \ mu \ left（E \ right）\ leq r_i \ mu \ left（B ^ p_i \ left（E \ right）\ right）。 $$ 以来 $ \ mu（E）\ geq p \ mu（B ^ p_i（E））$ ，这直接意味着 $ x p \ leq r_i $ 。

显示右手不平等

以来 $ \ mu（E）\ leq \ mu（B ^ p_i（E））$ 和 $ x \ geq 0 $ ， 我们有 $$ \ {开始对齐*} ＆amp; \ frac {1} {\ mu \ left（E \ right）} \ left [r_i \ mu \ left（B ^ p_i \ left（E \ right）\ right） - \ mu \ left（X \ cap \左[B ^ p_i \ left（E \ right）\ setminus E \ right] \ right）\ right] \\ ＆amp; \ geq \ frac {1} {\ mu \ left（B ^ p_i \ left（E \ right）\ right）} \ left [r_i \ mu \ left（B ^ p_i \ left（E \ right）\ right ） - \ mu \ left（X \ cap \ left [B ^ p_i \ left（E \ right）\ setminus E \ right] \ right）\ right] \\ ＆amp; = \ underbrace {r_i - \ frac {\ mu \ left（X \ cap \ left [B ^ p_i \ left（E \ right）\ setminus E \ right] \ right）} {\ mu \ left（B ^ p_i \ left（E \ right）\ right）}} _ {\ text {RHS}}。 \ {端对齐*} $$ 一定是这样 $ X \ cap [B ^ p_i（E）\ setminus E] \ subseteq B ^ p_i（E）\ setminus E $ 所以 $$ \ text {RHS} \ geq r_i - \ frac {\ mu \ left（B ^ p_i \ left（E \ right）\ setminus E \ right）} {\ mu \ left（B ^ p_i \ left（E \ right） \ right）} = r_i - \ frac {\ mu \ left（B ^ p_i \ left（E \ right）\ right） - \ mu \ left（E \ right）} {\ mu \ left（B ^ p_i \ left） （E \右）\右）} = r_i - \ left（1 - \ mu \ left（\ left.E \ right | B ^ p_i \ left（E \ right）\ right）\ right）。 $$ 根据定义（这是文中的不等式（9）） $ \ mu（E | B ^ p_i（E））\ geq p $ 因此 $$ \ text {RHS} \ geq r_i - \ left（1 - p \ right）。 $$ 注意到最初的平等 $ x = \ text {RHS} $ ， 我们有 $$ x \ geq r_i - \ left（1 - p \ right）\; \; \ iff \; \; r_i \ leq x + 1 - p。 $$