帮助了解拉格朗日乘数？

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我试图了解拉格朗日乘数，并使用我在网上发现的示例问题。

问题设置：

考虑具有效用函数的使用者，其中。假设该消费者有财富且价格。这就是我们所得到的。 $u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$ $\alpha \in (0,1)$ $w$ $p =(p_x,p_y)$

我所做的工作：

然后，我定义了一个预算约束方程：。然后，我还为消费者的最大化问题定义了一个关联的拉格朗日：。 $w = xp_x + yp_y$ $\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

我的问题：

这个方程式允许我做什么？尽管我是根据维基百科有关拉格朗日乘数的页面上的公式进行设置的，但我真的不知道该方程式的目的是什么。就像我不明白给定的方程式如何让我确定如何最大化效用函数。

注意：我对物理学中的多变量微积分和Lagrangian（）很熟悉，但是这种方法对我来说是新的。 $L = T -V$

utility

— 斯坦·顺派克
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如果您在这里找不到很好的答案，则可以考虑在math.stackexchange.com上提问！好问题。

— 2015年

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受约束的优化函数使受一个或多个约束的目标最大化或最小化。据我了解，拉格朗日乘数法将约束优化问题（I）转换为无约束优化问题（II），其中对问题II的最优控制值也是对问题I的最优控制值。此外，目标函数in问题I和II取相同的最优值。技巧是将约束直接放入目标函数而不是单独使用约束的巧妙方法。

我同意您对消费者最大化问题的介绍：。 $\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

现在我们针对x和y取偏导数，将它们设为零，然后求解x *和y *。

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$ （eqn 1）

通过取偏导数恢复预算约束方程。 $\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$ （eqn 2）

现在，我们有两个方程和两个未知数（x，y），可以求解x *和y *。

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

$\rightarrow \alpha = xp_x/w$ （结果1）

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$ （结果2）

结果1和2构成了著名的Cobb-Douglas效用和生产函数不变支出份额结果。对于x *和y *也可以明确求解：和，它们是拉格朗日和原始问题的最佳值。 $x^* = \alpha w /p_x$ $y^* = (1-\alpha) w /p_y$

— 凯
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关于您的最后一句话，为什么我们也不能求解？我认识到的，因为是顺序（又名度）1，取偏导数中移除了因为它的衍生物是自然为1，因此最终不会成为变量。这是故意的吗？

λ

$\lambda$

Λ (x, y, λ)

$\Lambda(x,y,\lambda)$

λ

$\lambda$

\frac{\partial Λ}{\partial λ}

$\frac{\partial \Lambda}{\partial \lambda}$

λ

$\lambda$

— Stan Shunpike，2015年

我扩大了答案，并希望将其弄清楚。是的，您确实使用了，这是您恢复预算方程并最终求解x和y最佳值的方式。但是您实际上并不选择lambda。您只能选择x和y。最终更像是价格（影子价格），而不是选择变量。

\partial Λ / \partial λ

$\partial \Lambda / \partial \lambda$

λ

$\lambda$

— 2015年

这清除了它。感谢您的澄清。我在这里举了一个例子：math.stackexchange.com/questions/674/…但实际上以某种方式让我感到困惑。看到变量更有意义。

— Stan Shunpike，2015年

@BKay如何获得？

\frac{y p_{y}}{w} = \frac{x p_{x}}{w (α - 1)}

$\frac{y p_y}{w}=\frac{x p_x}{w(\alpha - 1)}$

— Mathemanic

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这是出于直觉，而非严格，并假设我们知道您要偏离约束的方式。这很容易；您可能要超支，因此我们调用Lagrange来训练您花费而不是花费更多。通过以下步骤考虑问题： $w$

您想出去吃披萨（）和啤酒（），然后请父母借信用卡。 $x$ $y$
您的父母认识您，因此，使用信用卡您会收到以下警告：如果您的支出超过，我们将让我们邪恶的邻居拉格朗日先生sm打您的手指，使您每花1美元，就会产生公用事业单位的痛苦。 $w$ $\lambda$
看看拉格朗日；现在它成为您的效用净额，比萨饼（），啤酒（）和疼痛（）的。从您的角度来看，您只需针对给定的最大化此值（这特别意味着，如果非常小，则超出预算总值将不值拉格朗日先生的一巴掌）。 $x$ $y$ $\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$ $\lambda$ $\lambda$
从您的父母的角度来看，他们希望将调整为使您自愿选择精确消费，从而使拉格朗日先生陷入困境。（选择较高的会导致您的支出不足，您可以相应地调整解释。） $\lambda$ $w$ $\lambda$
当然，您将精确选择在拥有和不拥有额外消费和罚款捆绑之间无差异的级别。因此，影子价格的解释是：是（更准确地说是一阶近似值）您愿意支付的金额- 与目标函数的单位相同！增加预算 $\lambda$

至于在约束上改变符号的建议：当然，它在数学上是可行的，但我几乎从未将其用于教学目的。保持原样，公开了一个约束（您不喜欢，它减少了您的效用），等同于税收（出于相同的原因，您也不喜欢）。从经济学的角度来看，您会发现约束是由税收实施的，这对例如建模庇古税内部化（不需要的负数）外部性很有帮助。 $u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

— 尼尔斯
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使用Lgrange乘法器在约束条件下优化函数是一种有用的技术，尽管最终它提供了更多的见解和信息。坚持平等约束的情况下，问题

max_{(x, y)} u (x, y) = x^{α} y^{1 - α}, α \in (0, 1)

$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$

s.t. w = p_{x} x + p_{y} y

$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$

当然可以通过直接替换将其转化为无约束的问题：

max_{y} u (x, y) = {(\frac{w - y p_{y}}{p_{x}})}^{α} y^{1 - α}, α \in (0, 1)

$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$

但是通常，直接替换会产生繁琐的表达式（尤其是在动态问题中），其中容易出现代数错误。因此，拉格朗日方法在此具有优势。此外，拉格朗日乘数具有有意义的经济解释。在这种方法中，我们定义一个新变量，并形成“拉格朗日函数” $\lambda$

Λ (x, y, λ) = x^{α} y^{1 - α} + λ (w - p_{x} x - p_{y} y)

$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$

首先，请注意是等同于，由于添加的部分，右边是同样为零。现在我们针对两个变量最大化Lagrangean，并获得一阶条件 $\Lambda(x,y,\lambda)$ $u(x,y)$

\frac{\partial u}{\partial x} = λ p_{x}

$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$

\frac{\partial u}{\partial y} = λ p_{y}

$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$

等同于，这迅速提供了基本关系 $\lambda$

\frac{\partial u / \partial x}{\partial u / \partial y} = \frac{p_{x}}{p_{y}}

$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$

该最优关系与预算约束一起，提供了两个未知数的两方程组，因此根据外生参数（效用参数，价格提供了解决方案和给定的财富）。 $(x^*, y^*)$ $\alpha$ $(p_x,p_y)$ $w$

要确定的值，请将每个一阶条件分别乘以和，然后相加求和得到 $\lambda$ $x$ $y$

\frac{\partial u}{\partial x} x + \frac{\partial u}{\partial y} y = λ (p_{x} x + p_{y} y) = λ w

$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$

对于一阶效用的同质性，就像Cobb-Douglas函数一样，我们有

\frac{\partial u}{\partial x} x + \frac{\partial u}{\partial y} y = u (x, y)

$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$

因此，在最佳组合下

u (x^{*}, y^{*}) = λ^{*} w

$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$

拉格朗日乘数就是这种获得经济上有意义的解释的方式：它的价值是财富的边际效用。现在，在序数效用的情况下，边际效用并没有真正的意义（另请参见此处的讨论）。但是上述过程可以应用于例如成本最小化问题，在该问题中，拉格朗日乘数反映了总生产成本的增加，而生产数量略有增加，因此这就是边际成本。

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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这是一个很好的解释。问题：在Wikipedia上有关拉格朗日乘数的页面上，它指出，但是，并非所有平稳点都能产生原始问题的解决方案。因此，拉格朗日乘数的方法为约束问题的最优性提供了必要条件。这是否意味着“最大化”是不正确的？因为我认为必要并不意味着足够，但相反却可以。

— Stan Shunpike，2015年

@StanShunpike确实，这只是必要的。当目标函数和约束具有某些属性时，它们就足够了。例如，对于线性约束和拟凹目标函数，它们也足够了。

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos编写另一种方法是间接实用函数，对吗？因此，如果我没记错的话，这是信封定理的应用，不是吗？

u (x^{*}, y^{*})

$u(x^*,y^*)$

v

$v$

— Mathemanic 2015年

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我建议您逐段处理此答案，确保依次获取每个答案，否则您会感到困惑。如果出于您的目的而不必要，您甚至可能希望忽略以后的那些。

听到的主要想法是，如果该点是条件极值，则它不一定是拉格朗日的固定点，即拉格朗日的所有偏导数都为零的点。要解决该问题，您应该确定所有固定点，然后在其中找到最大值。

但是，一般而言，此配方并不可靠，因为最大值可能不存在。通常，您可以使用Weierstrass定理验证它的存在。它要求小说是连续的，并且场景必须紧凑，这就是这种情况。通常，这意味着您需要检查相关集合的任何边界点，即点和点。 $x= 0$ $y = 0$

在这种情况下，您的方程式不足以求解，因为您要考虑的集合是由不等式而不是等式定义的。您可能会指出，该函数在和是单调的，因此最大值位于右上边界。如果或，效用也是0 ，而在严格意义上肯定是正数是可行的，因此在左边界或下边界都无法达到最大值。那么这种方法是完全合理的。 $x$ $y$ $x = 0$ $y=0$

将来，您应该意识到如果应该通过应用Kuhn-Tucker定理通常可以解决这种类型的问题，那么我建议您在掌握这些材料后熟悉它。

— 尼基塔（Nikita Toropov）
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正如其他人所指出的那样，拉格朗日方法的本质是将约束极值问题转换为可以应用自由极值问题的FOC的形式。在您的设置中，您将非约束问题（）转换为： $\max u(x,y)$

Λ = x^{α} y^{1 - α} + λ (w - (x p_{x} + y p_{y}))

$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$

如果您假设将满足该限制，即，那么最后一项将独立于的值而消失，因此将与相同。诀窍是将视为附加选择变量，从而最大化。由于用于一阶条件是 $xp_x+yp_y=w$ $\lambda$ $\Lambda$ $u$ $\lambda$ $\Lambda(x,y,\lambda)$ $\lambda$

\frac{\partial Z}{\partial λ} = w - (x p_{x} + y p_{y}) = 0

$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$ 我们可以保证约束的满足和的消失。

λ

$\lambda$

至于解释的（拉格朗日乘数），在广泛的经济方面，它是影子价格的的个约束。在您的设置中，仅存在预算约束，影子价格是预算约束的机会成本，即预算货币（收入）的边际效用。 $\lambda_i$ $i$

另一种查看方式是衡量对（预算）约束变化的敏感性。其实可以证明 $\lambda$ $\Lambda$

\frac{d Λ^{*}}{d w} = λ^{*}

$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$

请注意，对于这种解释的是有道理的，你必须始终表示约束为，不作为（就像你在你的设置中写道）。 $\lambda^*$ $w-(xp_x+yp_y)$ $(xp_x+yp_y)-w$

— 韩泰美
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