拥塞游戏中的亚模性质？

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令为玩家和元素的拥塞游戏。 $G$ $n$ $m$

对于平衡，用 $e$

S U P (e) ≜< s u p_{1} (e), s u p_{2} (e), \dots, s u p_{n} (e) >

$SUP(e)\triangleq<sup_1(e),sup_2(e),\ldots, sup_n(e)>$

其中 $sup_i(e)$ 包含第 $i$ 个玩玩家 $e$ （ $i$ 以正概率玩的一组策略）的支持。

另外，我们说 $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ 当且仅当 $\forall i\in[n]: sup_i(e)\subseteq sup_i(e')$ ，即在每一个球员 $e$ 随机化他的一个子集动作他本可以选择玩 $e'$ 。

最后一个定义是社会成本 $SC(e)$ ，其定义为参与者的成本总和。

令 $e,e'$ 是两个（可能是混合的）平衡 $G$ 。

不
$S U P (e) \subseteq S U P (e^{'})$ $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ 暗示 $S C (e) \leq S C (e^{'})$ $SC(e) \leq SC(e')$ ？

game-theory nash-equilibrium congestion-games

— RB
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您是说

S C (e) \geq S C (e^{'})

$SC(e)\geq SC(e')$ 吗？凭直觉，人们会认为集中均衡在较少的元素周围起作用会导致每个元素更加拥挤。

— 无处不在

@无处不在-我认为情况恰恰相反。每个玩家专注于更少的元素，这意味着更少的玩家正在使用每个元素。每个玩家现在都选择一个元素子集，而这仍然是一个平衡，这一事实可能意味着社会正在从中受益（否则，玩家似乎可能会转向使用更多元素）。

— RB

取决于成本函数（延迟）。由于缺少收益（成本），因此未完全指定问题中的游戏。

— Sander Heinsalu '16

Answers:

2

这个主张通常是不正确的。可以证明在 $n=2$ 和的情况下它是正确的 $m=2$ 。在这里，我展示一个反例，当 $n=3$ 和 $m=2$ 。

简短评论。我们可以用词重新表述这个问题：“更随机”的纳什均衡（与）的效率较低吗？直观地讲，随着采取更多混合策略，实现结果会更加随机，由于代理之间缺乏协调，效率可能非常低下。当代理商采取纯粹的策略时，考虑到纳什均衡，我们可以认为我们减少了协调问题。如果命题是假的，这种直觉就不成立，正如我将在和。 $e'$ $e$ $n=3$ $m=2$

分别表示和这两个可能的动作。延迟函数定义如下：，，和，，。这意味着，当剂发挥（相应的），它们接收的收益（分别）。只要延迟功能增加，这就是（对称）拥塞游戏。 $A$ $B$ $d_A(1)=5$ $d_A(2)=7$ $d_A(3)=10$ $d_B(1)=1$ $d_B(2)=6$ $d_B(3)=7$ $x$ $A$ $B$ $-d_A(x)$ $-d_B(x)$

当1个角色扮演且2个角色扮演时，将定义为平衡。限定作为平衡时1剂始终发挥，和2个其他起着概率和以概率。它满足性能。 $e$ $A$ $B$ $e'$ $B$ $A$ $\mu=2/3$ $B$ $1-\mu=1/3$ $sup(e) \subseteq sup(e')$

首先，我们证明是纳什均衡。谁扮演剂被最大化时选择她的支付给出的两个其他玩家的策略是不是选择更好，（即，）。如果（即），则两个玩特工都处于最佳状态。 $e$ $A$ $A$ $B$ $d_A(1)<d_B(3)$ $5<7$ $B$ $d_B(2)<d_A(2)$ $6<7$ $e$ 因此是Nash均衡，其社会成本为。 $d_A(1)+2d_B(2)=17=\frac{153}{9}$

其次，我们证明是纳什均衡。一方面，谁扮演代理是，最大限度地提高收益，当两个人玩混合策略，如果她是关闭打得更好比， $e'$ $B$ $B$ $A$ 即

（ 1个 - μ ）^{2} d_{乙} （ 3 ） + 2 μ （ 1个 - μ ） d_{乙} （ 2 ） + μ^{2} d_{乙} （ 1个 ） < （ 1个 - μ ）^{2} d_{一种} （ 1个 ） + 2 μ （ 1个 - μ ） d_{一种} （ 2 ） + μ^{2} d_{一种} （ 3 ）

$(1-\mu)^2d_B(3)+2\mu(1-\mu)d_B(2)+\mu^2d_B(1)<(1-\mu)^2d_A(1)+2\mu(1-\mu)d_A(2)+\mu^2d_A(3)$

，这是正确的。在另一方面，打混合策略代理中的每一个是在选择之间淡漠

或

如果

即

\frac{1}{9} 5 + \frac{4}{9} 7 + \frac{4}{9} 10 < \frac{1}{9} 7 + \frac{4}{9} 6 + \frac{4}{9} 1

$\frac{1}{9}5+\frac{4}{9}7+\frac{4}{9}10<\frac{1}{9}7+\frac{4}{9}6+\frac{4}{9}1$

A

$A$

B

$B$

μ d_{一种} （ 2 ） + （ 1个 - μ ） d_{一种} （ 1个 ） = μ d_{乙} （ 2 ） + （ 1个 - μ ） d_{乙} （ 3 ）

$\mu d_A(2)+(1-\mu)d_A(1)=\mu d_B(2)+(1-\mu)d_B(3)$

。

然后纳什均衡和其社会成本是

\frac{19}{3} = \frac{19}{3}

$\frac{19}{3}=\frac{19}{3}$

e^{'}

$e'$

等于

（ 1个 - μ ）^{2} [3 d_{乙} （ 3 ）] + 2 μ （ 1个 - μ ） [d_{一种} （ 1个 ） + 2 d_{乙} （ 2 ）] + μ^{2} [2 d_{一种} （ 2 ） + d_{乙} （ 1个 ）]

$(1-\mu)^2 [3d_B(3)]+2\mu(1-\mu)[d_A(1)+2d_B(2)]+\mu^2[2d_A(2)+d_B(1)]$

。

\frac{1}{9} 21 + \frac{4}{9} 17 + \frac{4}{9} 15 = \frac{149}{9}

$\frac{1}{9}21+\frac{4}{9}17+\frac{4}{9}15=\frac{149}{9}$

最后，我们已经表明，但。混合策略的纳什均衡导致的社会成本低于纯策略。 $sup(e) \subseteq sup(e')$ $SC(e) > SC(e')$

— 桂威
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