我们知道效用函数是否是拟线性（QL）w.r.t good 1，那么对其他商品的需求与收入无关（商品没有收入效应$（2，\ dots，N）$）。

但反过来的含义是否正确：即，如果除了一个以外的所有商品都具有独立于收入的需求函数，那么效用函数必须是拟线性的吗？

我一直在查阅所有标准的微观级别教科书，但还没有得到答案。我看到书籍只用暗示的一面来定义（而非特征化）QL（即QL意味着没有收入效应），但却对另一方保持沉默。

在这方面的任何参考都将非常有用。

你的主张是真的吗？

让我们看看一个代理人，他的公用事业是货币的准线性，$ m $和商品$ c $。

效用函数由下式给出

$$ U（m，c）= m + f（c）$$用于某些凹函数$ f $。

最大化问题，给定财富$ w $，货币价格和消费$ p，p_c $

$$ \ max_ {m，c} U（m，c）\ text {s.t。 } pm + p_c c = w \\ = \ max_c f（c）+ \ frac {w} {p} - \ frac {p_c} {p} c \\ \ Rightarrow f'（c）= \ frac {p_c} {p} $$

所以最佳消费金额$ c $独立于财富水平$ w $， 如果内部解决方案符合全球解决方案的要求 - 它的财富水平足够高。我不是来自微观背景，但我认为这符合资格 对非线性商品没有收入效应 。

直觉是，超过收入门槛，你有最优的消费轨迹$ c ^ * $，由前一个FOC识别。拥有更高的收入会让你想省钱，而不是把它投入消费。

反过来怎么样？

现在我们获得了直觉，我们可以尝试向后工作。我们需要什么？那

$$ \ exists c ^ *：U（m + \ epsilon，c ^ *）＆gt; U（m，c ^ * + \ frac {p} {p_c} \ epsilon）\，\ forall \ epsilon＆gt; 0 $$

人们可以证明（做到这一点！）如果$ U $在$ m $中是凹的，最终增加$ m $的边际价值（对于足够大的$ \ epsilon $）小于将其投入$ c $。

另一方面，如果$ U $在$（m，c）$中是可加分离的并且在$ m $中增加但是增加，我们会 - 在一个阈值之后 - 总是将所有投资到$ m $并设置$ c = 0 $ 。此外，在这个门槛之后，$ c $的最佳轨迹在很大程度上与财富水平无关：没有收入效应。

另一个例子是降低$ c $中的效用，这将使我们将其独立于财富水平设置为其全局最小值（通常为0）。

你看，除非你给我们提供一类效用函数，否则可能存在许多有效（但经济上愚蠢）的效用函数情况，其中反函数不成立。

第一次索赔是对的吗？我想这取决于收入效应的含义。

假设你的准线性效用形式是： $$ U（x，v）= x + \ ln（v）$$ 假设$ P_v = P_x = 1 $等财富$ w = P_v \ cdot v + P_x \ cdot x = x + v $。 如果$ 0＆lt; w \ leq 1 $，家庭严格优先购买$ v $到$ x $并购买$ x $但$ w＆gt; 1 $则购买除此之外的$ x $。因此对$ x $的需求如下： $$ w＆lt; 1：x ^ * = 0 $$ $$ w＆lt; 1：v ^ * = w $$ $$ w \ geq1：x ^ * = w-1 $$ $$ w \ geq1：v ^ * = 1 $$

所以$ x / v $的边际需求取决于$ w $。

大段引用   假设你的准线性效用形式是：   U（X，V）= X + LN（v）的   假设Pv = Px = 1，因此对于财富w =Pv⋅v+Px⋅x= x + v。如果01是，则除此之外购买x。因此对x的需求如下：   W＆LT; 1：X * = 0   W＆。1：V * =瓦特   w≥1：X * = W-1   w≥1：V * = 1

这有什么意义呢？如果在w <1时分配v = w和x = 0，则U（0，v = w <1）<1。对于v <1，ln（v）为0是负的。